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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 1の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1997年4月21日}
\rightline{河東泰之}
\bigskip

おことわり．[2], [3]でいう「正値」というのは，0を含むつもりで
書きました．私の専門ではこれが当然のしきたりで，この授業でも
そういう使い方をしますが，そうは取らなかった人もあったようで，
すみません．（さらに，試験の直後にこのことを質問に来た人に，
いいかげんに答えてしまいました．) $f(x) > 0$の意味に思っても
できますが，少し作り方が難しくなります．

以下の解答は概略にとどめてあります．実際の答案ではもっときちんと
書かないといけません．

\bigskip[1] $x^2+y^2\le x^2+2y^2\le2(x^2+y^2)$
だから，問題の積分が収束することと，
$\dsize\int\int_{x^2+y^2\le 1} (x^2+y^2)^\alpha\;dxdy$
が収束することは同値です．こちらの積分は，
$\dsize\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^{2\alpha}\;rdrd\theta$
に等しいので，求める条件は，
$2\alpha+1 > -1$, つまり$\alpha > -1$です．

\bigskip[2] いろいろ作れますが，たとえば，
$x=-\infty$で$f(x)=0$,
$x=-n^2$で$f(x)=0$,
$x=0$で$f(x)=1/n$,
$x=n^2$で$f(x)=0$,
$x=\infty$で$f(x)=0$,
というのを折れ線でつないだグラフを持つ関数を$f_n(x)$とすればO.K.です．

\bigskip[3]
(1) たとえば，$f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}$とすれば，O.K.です．

(2) グラフを記述します．$n\ge2$に対し，
点$(n-1/n^3,0)$, $(n,n)$,
$(n+1/n^3,0)$を結び，あとは値が0になるようなグラフを考えます．
これに対応する関数を取ればO.K.です．これが一番難しかったようです．

「正値」と書いてあるので，問題文の積分の絶対値は不要でした．

\bigskip
配点は1番から順に，30, 30, 20$\times$2点です．
最高点は100点(3人)，平均点は53.9点でした．
\bye