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\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\e{\varepsilon}
\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 10}
\medskip
\rightline{1997年6月23日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）


\bigskip [1] 
$f(x)$は$\R$上の実数値微分可能関数で，$f(x)$も$f'(x)$も
$\R$上可積分であるとする．このとき，
$\dsize\lim_{n\to\infty}\int_\R f(x)\sin nx\;dx$を求めよ．

\bigskip [2] 
$f(x)$を$\R$上の有界可測関数，$g(x)$を$\R$上の可積分関数とする．
実数$t$に対し，$F(t)=\dsize\int_\R f(x+t)g(x)\;dx$とおく．
この$F(t)$は$t$の連続関数であることを示せ．

\bigskip [3] 
実数$t$に対し，$f(t)=\dsize\int_\R e^{-x^2} e^{-ixt}\; dx$
と定める．この$f(t)$は$\R$上実解析的であることを示せ．


\bigskip\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．

\bye