\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\nopagenumbers

\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\e{\varepsilon}
\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 9}
\medskip
\rightline{1997年6月16日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）


\bigskip [1] 
$s > 0$に対し，
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^n \left(1-\frac{t}{n}\right)^nt^{s-1}\;dt
=\int_0^\infty e^{-t}t^{s-1}\;dt$$
であることを示せ．(右辺は$\Gamma(s)$の定義である．)


\bigskip [2] 
$$\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}
x^{-1/n}\;dx$$を求めよ．

\bigskip [3] 
集合$X$上の完全加法族$\Cal B$と測度$\mu$について考える．
$f(x)$が$X$上可積分であれば，
任意の$\e > 0$に対し，
「$A\in\Cal B$, $\mu(A) < \delta$ならば，
$|\dsize\int_A f(x)\;d\mu| < \e$」となるような$\delta > 0$
が存在することを示せ．


\bigskip\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．

\bye