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\define\R{\bold R}
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\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 6}
\medskip
\rightline{1997年5月26日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
自分のノートを参照してよい.(ただし,本は見ないこと.)

\bigskip [1] $f(x)$を$X$上の複素数値可測関数で値0を
とらないものとする.このとき$1/f(x)$も
可測関数であることを示せ.

\bigskip [2] 集合$X$上の完全加法族$\Cal B$と測度$\mu$
を考える.$A_1,A_2,\dots,A_n$を互いに交わらない$X$の
部分集合,$c_1,c_2,\dots,c_n$を実数とする.関数
$\dsize\sum_{j=1}^n c_j \chi_{A_j}$が可測になるための必要十分
条件を求めよ.

\bigskip [3] $\R$上の実数値関数$f(x), g(x)$で,
$f(x)$も$g(x)$もLebesgue可測でないが,$f(x)g(x)$は
Lebesgue可測であるようなものの例を一組あげよ.

\bigskip [4] $\R$のすべての部分集合からなる完全加法族を
$\Cal B$,$A\in \Cal B$に対して
$$\mu(A)=\cases 0,&\hbox{$0\notin A$のとき,}\\
1,&\hbox{$0\in A$のとき.}\endcases$$
として定まる測度を$\mu$とする.
$\R$上の正値関数$f(x)$に対し,
$\dsize\int_\R f(x)\;d\mu$は何か.積分の定義に基づいて
答えよ.

\bigskip\bigskip
解答は別紙に書いて下さい.解答用紙の裏面を使用してもけっこうです.

\bye