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\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 5の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1997年5月26日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [1] たとえばCantor setと$\Q$の和．

\bigskip [2] $C$の元$x$を0, 2だけを使って2進小数展開します．
そして$n$桁目が0, 2のいずれであるかに応じて$y_n=0, 1$と定め，
$f(x)=(y_n)\in X$で，$f:C\to X$を定めます．これが全単射であること
は簡単にわかります．あと，位相の定義をよくながめて，$f$も$f^{-1}$
も連続であることを示します．(こちらはそんなに簡単ではありません．)

この$X$は，離散位相空間$\{0,1\}$の，位相空間としての無限直積
と言われるものです．この結果は直接はLebesgue積分とは関係ありま
せんが，Cantor setの有名な性質なので出してみました．

\bigskip [3] 0に収束する数列$\{t_n\}_n$を取って
$\{f_{t_n}(x)\}_n$を考えるのが一番楽でしょう．授業でもう少し説明します．

\bigskip [4] $n$次元です．

\bigskip
配点は各問25点です．
最高点は98点(1人)，平均点は34.5点でした．
\bye