\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\nopagenumbers

\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ind{\text{ind}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 1}
\medskip
\rightline{1997年4月14日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい.(ただし,本は見ないこと.)

\bigskip [1] $\dsize\int\int_{x^2+y^2\le 1} (x^2+2y^2)^\alpha\;dxdy$が
収束するような実数$\alpha$の範囲を求めよ.

\bigskip [2]
次の条件すべてを満たすような,$\R$上の正値
連続関数の列$\{f_n(x)\}_n$の例を一つあげよ.(その列が本当に
下記の条件を満たしていることをきちんと説明すること.)

(1) すべての$n$に対し,広義積分$\dsize\int_\R f_n(x)\;dx$が
(有限実数として)存在する.

(2) $\R$上,関数列$\{f_n(x)\}_n$は定数関数0に一様収束する.

(3) $\dsize\lim_{n\to\infty} \int_\R f_n(x)\;dx=\infty$.

\bigskip [3]
(1) $\R$上の正値連続関数$f(x)$で,$\dsize\int_\R |f(x)|^2\;dx < \infty$
だが,$\dsize\int_\R |f(x)|\;dx=\infty$となるものの例を一つ挙げよ.

(2) $\R$上の正値連続関数$f(x)$で,$\dsize\int_\R |f(x)|\;dx < \infty$
だが,$\dsize\int_\R |f(x)|^2\;dx=\infty$となるものの例を一つ挙げよ.

ただし,これらの積分は広義積分である.
以上2つのいずれも,その例が本当に条件を満たしていることをきちんと
説明すること.

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい.解答用紙の裏面を使用してもけっこうです.

\bye