\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 12pt
\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 IV 期末テスト略解・解説}
\medskip
\rightline{2005年7月28日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


配点は順に $10\times2$, 20, 20, 25, 25点の計110点満点です．
この点数 $x_2$ が上に赤で書いてあります．
第2回中間テストの点数を $x_1$ とすると，最終成績 $x$ は前に予告したとおり，
$x=0.3\max(x_1,x_2)+0.7x_2$ (を四捨五入したもの) として計算します．
(ただし $x_1, x_2$ ともに，100点を超えていたら100点で頭打ちです．) 
これが青で書いてある点数で，教務課に報告されるものです．
採点ミスがあると思う人は，ただちに申し出て下さい．
(返却する答案は，すべてコピーが取ってあります．)

期末テスト自体の最高点は110点(1人)，平均点は63.7点，その得点の
分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100-- & \cr
\vsp\t
& 16  (人) && 8 && 6 && 6 && 6 && 4  && 6 & \cr
\vsp\t
}}$$

最終成績(青い数字)の平均点は66.6点，その得点の
分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 12 (人) && 9 && 7 && 7 && 7 && 4 && 6 & \cr
\vsp\t
}}$$

これによって，A, B, C, D の人数はそれぞれ，17, 12, 11, 12 人となります．

\bigskip
[1] (1) Jordan 標準形は
$$A=\left(\matrix
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right),$$
最小多項式は $(x-1)(x-2)$.

(2) Jordan 標準形は
$$A=\left(\matrix
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\endmatrix\right),$$
最小多項式は $(x-1)^2 (x-2)$.

\medskip
[2] 答えはいくつもありますが，たとえば
$$P=\left(\matrix
-1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
 0 & 1 & 5
\endmatrix\right).$$
また Jordan 標準形は（問題では聞いていませんが）
$$P=\left(\matrix
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right).$$
となります．

\medskip
[3] $A$ の Jordan 標準形は
$$\left(\matrix
2 & 1 \\
0 & 2
\endmatrix\right)$$
です．あとは普通に計算して，
$$\exp(tA)=
\left(\matrix
(6t+1)e^{2t} & -4te^{2t} \\
9te^{2t} & (-6t+1)e^{2t}
\endmatrix\right)
$$ となります．

\medskip
[4] $A$ の Jordan 標準形としてありうるのは，
$$\left(\matrix
\alpha & 0 & 0 \\
0 & \alpha & 0 \\
0 & 0 & \beta
\endmatrix\right),\quad
\left(\matrix
\alpha & 1 & 0 \\
0 & \alpha & 0\\
0 & 0 & \alpha
\endmatrix\right)$$
のいずれかです．ただし $\alpha, \beta$ は実数で，
前者の行列では，$\alpha\neq\beta$ です．
これより，$\exp A$ の Jordan 標準形は下記の二つの行列の
Jordan 標準形に等しくなります．
$$\left(\matrix
e^\alpha & 0 & 0 \\
0 & e^\alpha & 0 \\
0 & 0 & e^\beta
\endmatrix\right),\quad
\left(\matrix
e^\alpha & e^\alpha & 0 \\
0 & e^\alpha & 0\\
0 & 0 & e^\alpha
\endmatrix\right)$$
前者においては，$\alpha, \beta$ が
実数であることより $e^\alpha\neq e^\beta$, また後者においては
$e^\alpha\neq 0$ であることより，上のの二つの行列の Jordan 標準形は
それぞれ下記のようになります．
$$\left(\matrix
e^\alpha & 0 & 0 \\
0 & e^\alpha & 0 \\
0 & 0 & e^\beta
\endmatrix\right),\quad
\left(\matrix
e^\alpha & 1 & 0 \\
0 & e^\alpha & 0\\
0 & 0 & e^\alpha
\endmatrix\right).$$
このことより，$\exp A$ の最小多項式の次数は2となります．

\medskip
[5] $A$ の固有値は $1, t, t+1$ です．
$t=0$ の場合，$A$ の最小多項式は $x(x-1)$ です．
また，$t=1$ の場合，$A$ の最小多項式は $(x-1)^2(x-2)$ です．
それ以外の場合は，固有値が互いに相異なるので，
$A$ の最小多項式は3次多項式となります．
このことより，$t=0$ で $V$ は2次元，その他の場合は3次元となります．

\bye