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\documentstyle{amsppt}

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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 IV 期末テスト}
\medskip
\rightline{2005年7月25日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．
(多少欄外にはみ出してもかまいません．)

\bigskip
[1] 次の行列のそれぞれについて Jordan 標準形と最小多項式を求めよ．
(Jordan 標準形に変換する行列を求める必要はない．)

(1) $$A=\left(\matrix
-4 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 \\
-15 & 0 & 7
\endmatrix\right)$$

(2) $$A=\left(\matrix
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 2
\endmatrix\right)$$

\medskip
[2] 次の行列$A$に対し，$P^{-1}AP$ が Jordan 標準形になるような
可逆行列 $P$ を求めよ．

$$A=\left(\matrix
-4 & 5 & -1 \\
-5 & 6 & -1 \\
-1 & 1 & 1
\endmatrix\right)$$

\medskip
[3] 次の行列 $A$ と実数 $t$ に対し，$\exp(tA)$ を求めよ．

$$A=\left(\matrix
8 & -4 \\
9 & -4
\endmatrix\right)$$

\medskip
[4] $A$ は実数を成分とする $3\times 3$ 行列で，そのすべての固有値は
実数であり，また $A$ の最小多項式は2次式であるとする．
このとき，$\exp A$ の最小多項式と
してありうるのは何次式か．理由をつけて答えよ．

\medskip
[5] $t$ を複素数のパラメータとし，次の行列 $A$ を考える．
$$A=\left(\matrix
1 & 1 & 1 \\
0 & t & -1 \\
0 & 0 & t+1
\endmatrix\right)$$
このとき，
$$V=\{p(A)\mid p(x)\text{は複素数を係数とする任意の多項式}\}$$
とおくと，この $V$ は複素数を係数とするベクトル空間であるが，
その次元を求めよ．

\bye