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\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 IV 中間テスト(2)略解・解説}
\medskip
\rightline{2005年7月11日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

120点満点です．平均点は72.6点，最高点は120点(1人)でした．

\bigskip
[1] 10点$\times3$ です．標準的方法でできるので，答えだ書いておきます．

(1) Jordan 標準形は $$\left(\matrix
1 & 1  \\
0 & 1
\endmatrix\right)$$で，最小多項式は
$(x-1)^2$です．

(2) Jordan 標準形は $$\left(\matrix
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\endmatrix\right)$$で，最小多項式は
$(x-2)(x+1)^2$です．

(3) Jordan 標準形は  $$\left(\matrix
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right)$$で，最小多項式は
$(x-1)^3$です．

\medskip
[2] 30点です．これも普通の方法でできます．
答えは一つではありませんが，たとえば，
$$P =\left(\matrix
1 & 0 & 2 \\
-1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 0
\endmatrix\right)$$です．また，（問題では聞いていませんが）
Jordan 標準形は
$$\left(\matrix
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\endmatrix\right)$$となります．

\medskip
[3] 30点です．まず固有多項式は $t$にかかわらず，
$(x-2)^2(x+1)$となっています．したがって最小多項式が2次式になるとすれば
それは$(x+1)(x-2)$しかありえません．これになるようにすると，
$t=3$ がわかります．

\medskip
[4] 30点です．まず $A(x)$ の標準形は
$$\left(\matrix
1 & 0 & 0 \\
0 & x-1 & 0 \\
0 & 0 & x(x-1)
\endmatrix\right)$$となります．

$B(x)$ の標準形がこれになるためには，すべての $2\times2$ 行列式の
最大公約多項式が $x-1$ である必要があります．右上の $2\times 2$
部分に注目して，この行列式が $x-1$ で割れるために
$p(1)=1$ が必要です．また行列式が $cx(x-1)^2$ ($c$は0でない定数)
の形でなくてはいけないので，$p(x)$ は2次式以上にはなれません．
あとは実際に行列式を計算すれば，$p(x)=ax+(1-a), a\neq1$ が必要で，
これで十分であることもわかります．

\bye