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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 IV 中間テスト(2)}
\medskip
\rightline{2005年6月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 次の行列のそれぞれについて Jordan 標準形と最小多項式を求めよ．
(Jordan 標準形に変換する行列を求める必要はない．)

(1) $$A=\left(\matrix
-9 & 4  \\
-25 & 11
\endmatrix\right)$$

(2) $$A=\left(\matrix
2 & 0 & 0 \\
0 & -7 & 4 \\
0 & -9 & 5
\endmatrix\right)$$

(3) $$A=\left(\matrix
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right)$$

\medskip
[2] 次の行列$A$に対し，$P^{-1}AP$ が Jordan 標準形になるような
可逆行列 $P$ を求めよ．

$$A=\left(\matrix
-2 & 2 & 3 \\
-5 & 9 & 6 \\
4 & -8 & -4
\endmatrix\right)$$

\medskip
[3] 次の行列の最小多項式が2次式になるように，複素数 $t$ の
値を定めよ．

$$A=\left(\matrix
-4 & -6 & -6 \\
3 & 5 & t \\
0 & 0 & 2
\endmatrix\right)$$

\medskip
[4] 次の二つの $x$-行列が対等になるように，多項式 $p(x)$ を求めよ．

$$A(x)=\left(\matrix
x+1 & 2 & -2 \\
-2 & x-3 & 2 \\
-1 & -1 & x
\endmatrix\right)$$

$$B(x)=\left(\matrix
3x-1 & p(x) & x \\
2x & 2x-1 & x \\
5x-1 & 3x-1 & 2x
\endmatrix\right)$$

\bye