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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 IV 中間テスト(1)解答解説}
\medskip
\rightline{2005年5月30日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各問25点で,平均は51点でした.最高点は100点(2人),その次は
75点(8人)です.これは成績に関係ないので
そのままつけてありますが,期末テスト等では,配点などで配慮して
もう少し点が出るようにします.

\bigskip
[1] 固有値は2と3,対応する固有ベクトルはそれぞれ
$\left(\matrix
2t\\
-3t
\endmatrix\right)$,
$\left(\matrix
3t\\
-4t
\endmatrix\right)$ ($t$ は0でない複素数).

\medskip
[2] 固有値が違えば対角化可能である.よって固有方程式が重根を持たない
条件を考えると $t\neq 7, -1$ ならば対角化可能である.
$t=7, -1$ の場合はいずれも固有値が重根でかつ単位行列のスカラー倍では
ないので対角化可能ではない.

\medskip
[3] $A$ は対角化可能で,適当な可逆行列 $P$ に対し,
$$P^{-1} AP=\left(\matrix
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1
\endmatrix\right)$$
となる.基底を取り替えることにより最初から $A$ はこの形だとしてよい.
$\text{Ker}(T)$ が5次元,$T(V)$ が 4次元である.

\medskip
[4] 行列式因子を求める.まず明らかに $d_1=1$ である.
$d_2, d_3$ はそのまま計算してもよいが,たとえば
2行目の $-3$倍,$-5$倍をそれぞれ1行目,3行目に加えると
次の $x$-行列が得られる.
$$\left(\matrix
0 & -x+3 & x-9 \\
x-1 & x-2 & 4 \\
0 & -2x+5 & 3x-15
\endmatrix\right)$$
さらに適当に基本変形を続けると
$$\left(\matrix
0 & -x+4 & -12 \\
x-1 & 1 & -4 \\
0 & -1 & x+3
\endmatrix\right)$$
になる.これに対しては,$d_2=x-1$, $d_3=x(x-1)^2$ がすぐにわかる.
よって,単因子は $e_1=1$, $e_2=x-1$, $e_3=x(x-1)$ である.

\bye