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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 IV 中間テスト(1)}
\medskip
\rightline{2005年5月16日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは成績には関係ありません．ノート，本，コピーなど
すべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 次の行列の固有値，およびその固有値に対応する固有ベクトルを
すべて求めよ．

$$A=\left(\matrix
11 & 6 \\
-12 & -6 
\endmatrix\right)$$

\medskip
[2] 次の行列において $t$ は複素数の定数とする．
$$A=\left(\matrix
3 & 4 \\
-1 & t 
\endmatrix\right)$$
この行列が対角化可能であるのは $t$ がどのような値の時か決定せよ．

\medskip
[3] 複素数成分の $3\times 3$ 行列全体のなすベクトル空間を
$V$ とおく．
次の行列 $A$ に対し，$V$ から $V$ への線型写像 $T$ 
を，$T(X)=AX-XA$ で定める．

$$A=\left(\matrix
3 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 2 \\
-6 & -6 & -5 
\endmatrix\right)$$

このとき，$\text{Ker}(T)$, $T(V)$ のそれぞれの次元を求めよ．

\medskip
[4] 次の $x$-行列の単因子を求めよ．

$$A=\left(\matrix
3x-3 & 2x-3 & x+3 \\
x-1 & x-2 & 4 \\
5x-5 & 3x-5 & 3x+5 
\endmatrix\right)$$

\bye