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\def\R{{\bold R}}
\def\ep{{\varepsilon}}

\centerline{1996年度数理科学II（文系）期末テスト}
\rightline{1996年7月25日}
\rightline{河東泰之}
\bigskip

この試験は自筆ノート持ち込み可で行います．
（本，プリント，人のノートのコピーなどは不可です．）
時間は90分です．

\bigskip [1]
$V=\R^2$から$W=\R^2$への1次変換$T$が，自然な基底に
ついて，$A=\left(\matrix 1 & 2 \\ 3 & 4 \endmatrix\right)$
と表されているとする．この時，$V$の基底，
$x'_1=\left(\matrix 3 \\ 5 \endmatrix\right)$, 
$x'_2=\left(\matrix 1 \\ 2 \endmatrix\right)$と
$W$の基底，
$y'_1=\left(\matrix 2 \\ 1 \endmatrix\right)$, 
$y'_2=\left(\matrix 3 \\ 2 \endmatrix\right)$に関する
$T$の表示を求めよ．

\bigskip [2]
次の行列$A$を基本変形によって，6月6日の授業で
示した簡単な形にせよ．（各段階でどういう操作を行ったか，
明示すること．例えば○○に右から○○を
かけて，○○になる，とか，あるいは，
○○の3行目に2行目の2倍を足して○○になる，など．）
$$A=\left(\matrix
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 1\\
1 & 3 & 2
\endmatrix\right)$$

\bigskip [3] 次の行列$A$の逆行列を求めよ．
$$A=\left(\matrix
-1 & -1 & 1\\
-9 & -6 & 7\\
4 & 3 & -3
\endmatrix\right)$$

%$$\left(\matrix
%3 & 0 & 1\\
%-1 & 1 & 2\\
%3 & 1 & 3
%\endmatrix\right)$$

\bigskip [4] 次の行列$A$を対角化せよ．
$$A=\left(\matrix
6 & -3 & -7\\
-1 & 2 & 1\\
5 & -3 & -6
\endmatrix\right)$$

答は，$P^{-1}AP=D$で，$D$が対角行列になるような
$P^{-1}, P, D$を求めること．

\bigskip [5] 次の行列$A$の行列式が0になるように実数$a$の
値を定めよ．
$$\left(\matrix
1 & 2 & -1 & 2\\
-1 & -1 & -2 & -2\\
2 & 3 & -3 & 4\\
3 & 4 & 3 & a\\
\endmatrix\right)$$

\bigskip [6] 次の行列のKerが１次元になるように
実数$a$の値を定めよ．
$$\left(\matrix
1 & 2 & -4\\
2 & -3 & a\\
3 & 4 & -6
\endmatrix\right)$$

\bye