\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\pagewidth{17truecm} 
\pageheight{22.3truecm}
\hcorrection{-1.5truecm}
\NoBlackBoxes

\baselineskip 14pt
\nopagenumbers
\def\R{{\bold R}}
\def\ep{{\varepsilon}}

\centerline{1996年度数理科学II（文系）期末テスト解説}
\rightline{1996年7月29日}
\rightline{河東泰之}
\bigskip

配点は1番から順に，15, 15, 15, 20, 20, 15点です．
平均点は，63.2点，得点分布は次のとおりでした．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&&\omit && \omit && \omit &&\omit && \omit &\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}
\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--9 (点) && 10--19 && 20--29 && 30--39 && 40--49 && 50--59 &&
60--69 && 70--79 && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 0(人) && 4 && 5 && 9 && 11 && 18 && 15 && 21 && 14 && 9 && 11 & \cr
\vsp\t
}}$$

全体的に計算問題主体なので，計算ミスについては厳しく減点して
あります．特に，[1], [2], [3]についてそうです．

\bigskip [1]
$$P=\left(\matrix
2 & 3 \\
1 & 2 
\endmatrix\right),
Q=\left(\matrix
3 & 1 \\
5 & 2 
\endmatrix\right)$$とおけば，
求める行列は
$$P^{-1}AQ=\left(\matrix
-61 & -23 \\
45 & 17
\endmatrix\right)$$
である．

\bigskip [2]
どのような順でやっても結局答は
$$\left(\matrix
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\endmatrix\right)$$
である．

これはこの行列のrankが2であることはすぐにわかるので，計算しなくても
答はわかります．

\bigskip [3]
公式通りに計算して
$$A^{-1}=\left(\matrix
3 & 0 & 1\\
-1 & 1 & 2\\
3 & 1 & 3
\endmatrix\right)$$
を得る．

\bigskip [4] 普通に計算して，
$$P=
\left(\matrix
2 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1\\
1 & 1 & 1
\endmatrix\right),
P^{-1}=\left(\matrix
1 & 0 & -1\\
-2 & 1 & 3\\
1 & -1 & -1
\endmatrix\right),
D=\left(\matrix
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 2
\endmatrix\right)$$
を得る．

これも基本的に計算問題です．
$P$, $P^{-1}$は他の取り方もあります．

\bigskip [5]
$a=6$とおくと，4列めが1列めの2倍になるので，この時確かに
行列式が0となる．一方，行列式をすなおに展開すると24項出てきて，
$a$の1次式となるが，$a$の係数は
$$\det\left(\matrix
1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & -2\\
2 & 3 & -3
\endmatrix\right)$$
でありこれは0でないので，答は一つしかない．よって，$a=6$が
答である．

24項全部展開してできている人もいましたが，計算はなかなか
大変です．3次のときのようにたすきがけにして，$a=14$という答
を出している人がたくさんいましたが，間違いです．

\bigskip [6]
行列式が0にならないといけないので，
$-26+2a=0$より，$a=13$を得る.  この時，確かに$A$のrankは2になっているので，
Ker $A$は1次元である．

\bye