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\documentstyle{amsppt}
\baselineskip 16pt
\NoBlackBoxes
\define\R{\bold R}

\nopagenumbers
\centerline{1996年度数理科学II（文系）・演習問題(1)}
\rightline{5/23/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip 自分でやってみるための演習問題です．
試験には類似の問題が出ます．解答はついていません．

\bigskip [1] 次の3本のベクトルが1次独立になるための$a$の条件を
求めよ．
$$
\left(\matrix
1 \\
0 \\
0 
\endmatrix\right),
\left(\matrix
1 \\
a \\
2 
\endmatrix\right),
\left(\matrix
2 \\
3 \\
a 
\endmatrix\right).$$

\bigskip [2]
次の各行列のうち，正則であるものはどれか．
$$
\left(\matrix
1 & 2 & 4\\
0 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 6
\endmatrix\right),
\left(\matrix
1 & 4 & 7\\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\endmatrix\right),
\left(\matrix
1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & -1
\endmatrix\right),
\left(\matrix
1 & 4 & 0\\
2 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -1
\endmatrix\right).
$$

\bigskip [3] 
次の各行列を基本変形の繰り返しで，単位行列に移せ．
$$
\left(\matrix
1 & 3 & 0\\
-2 & -2 & 1 \\
3 & 2 & -2
\endmatrix\right),
\left(\matrix
-2 & -3 & 2\\
-4 & -5 & 3 \\
-1 & -2 & 1
\endmatrix\right),
\left(\matrix
-5 & 4 & -2\\
12 & -9 & 5 \\
-3 & 2 & -1
\endmatrix\right).$$

\bigskip [4] 次の各行列のKerを求めよ．
$$
\left(\matrix
-1 & 1 & 3\\
2 & -2 & -6
\endmatrix\right),
\left(\matrix
1 & 1 & 3\\
1 & -1 & -2
\endmatrix\right),
\left(\matrix
0 & 1 & -1\\
2 & -1 & -3
\endmatrix\right).$$

\bigskip [5] $\R^n$でベクトル$x_1,x_2,\dots, x_n$を次のように
定める．
$x_j=\left(\matrix
x_{1j}\\
x_{2j}\\
\vdots\\
x_{nj}
\endmatrix\right)$として，
$$x_{kj}=\cases 0,&\hbox{$|j-k|\neq1$の時，}\\
1,&\hbox{$|j-k|=1$の時，}\endcases$$
とする．この時，ベクトル$x_1,x_2,\dots, x_n$
は1次独立か．理由をつけて答えよ．

\bye