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\define\R{\bold R}

\nopagenumbers
\centerline{1996年度数理科学II（文系）・演習問題(2)}
\rightline{6/6/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip 自分でやってみるための演習問題です．
試験には類似の問題が出ます．解答はついていません．

\bigskip [1] $V=\R^2$から$W=\R^2$への1次変換$T$が，自然な基底に
ついて，$\left(\matrix 2 & 3 \\ 1 & 5 \endmatrix\right)$
と表されているとする．この時，$V$の基底，
$x'_1=\left(\matrix 1 \\ 2 \endmatrix\right)$, 
$x'_2=\left(\matrix 3 \\ 4 \endmatrix\right)$と
$W$の基底，
$y'_1=\left(\matrix 1 \\ 1 \endmatrix\right)$, 
$y'_2=\left(\matrix -1 \\ 1 \endmatrix\right)$に関する
$T$の表示を求めよ．

\bigskip [2] $V=\R^2$から$W=\R^2$への1次変換$T$が，
$V$の基底，
$x_1=\left(\matrix 1 \\ 2 \endmatrix\right)$, 
$x_2=\left(\matrix 3 \\ 4 \endmatrix\right)$と
$W$の基底，
$y_1=\left(\matrix 1 \\ 1 \endmatrix\right)$, 
$y_2=\left(\matrix -1 \\ 1 \endmatrix\right)$に
ついて，$\left(\matrix 2 & 3 \\ 1 & 5 \endmatrix\right)$
と表されているとする．この時，
$V=W=\R^2$の自然な基底に関する
$T$の表示を求めよ．

\bigskip [3] $V=\R^3$から$W=\R^2$への1次変換$T$が，自然な基底に
ついて，$\left(\matrix 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \endmatrix\right)$
と表されているとする．この時，$V$の基底，
$x'_1=\left(\matrix 1 \\ 3 \\ 0 \endmatrix\right)$, 
$x'_2=\left(\matrix -2 \\ -2 \\ 1 \endmatrix\right)$, 
$x'_3=\left(\matrix 3 \\ 2 \\ -2 \endmatrix\right)$と
$W$の基底，
$y'_1=\left(\matrix 0 \\ 1 \endmatrix\right)$, 
$y'_2=\left(\matrix -1 \\ 0 \endmatrix\right)$に関する
$T$の表示を求めよ．

\bigskip [4]
$n\times n$の行列$A=(a_{jk})$を次のように定める．
$$a_{jk}=\cases k^2,&\hbox{$k=j+1$の時，}\\
0, &\hbox{その他の時.}\endcases$$
この時，$A^n$を求めよ．

\bigskip [5] 次の行列のうち，適当な基底についての表示が
$\left(\matrix 1 & 2 \\ 3 & 4 \endmatrix\right)$になるものは
どれか．

$$\left(\matrix 1 & 0 \\ 0 & 1 \endmatrix\right),
\left(\matrix 1 & -1 \\ 2 & 3 \endmatrix\right),
\left(\matrix 1 & 2 \\ 2 & 4 \endmatrix\right).$$

\bigskip 前回の問題については，私のホームページ
http://www.ecc.u-tokyo.ac.jp/$\tilde{\hphantom{x}}$nyasu/
で\TeX のファイルが取れます．
\bye