Subfactor の量子 Galois 群としての paragroup

河東泰之（東大・数理）

1982 年， V. F. R. Jones によって始められた subfactor の理論 [27] は，作用素環論に大きな転機をもたらした．さらに， 1984 年，彼が subfactor 理論に基づいて発見した結び目の不変量， Jones 多項式 [28] は，量子群，共形場理論，可解格子模型，低次元トポロジーを巻き込んだ現代数学の大きな流れを作りだし， 1990 年の Fields 賞受賞に結び付いたことも今や周知であろう．作用素環論の立場から見た場合， subfactor の代数的，組合せ論的構造をもっともよく記述するからくりは， 1987 年， A. Ocneanu によって導入された paragroup [43] である．古典的な Galois 理論における Galois 群がある種の体と部分体との関係を記述することの類似として， paragroup は， (Hilbert 空間上の有界線型) 作用素の成す環とその部分環との関係を記述する．関数環から非可換な作用素環への移行がしばしば “量子化” という言葉で表されることから， paragroup は，量子化された Galois 群と思うことができる．これは， rational conformal field theory (RCFT) における fusion algebra や， braiding/fusion matrix とかなりよく似たものであり，また１の巾根における量子群の表現論，可解格子模型での IRF model， Turaev-Viro 型の topological quantum field theory(TQFT) を生み出す quantum 6jsymbol などともよく似ている．しかし残念ながら， Ocneanu が paragroup 理論の基礎部分の証明を論文として発表しなかったため，いまだに paragroup 理論全体をきちんと書いた文献は存在せず，さまざまな論文中に断片が，あちこち細部が抜けたまま散らばっているのが現状である．そこで，ここでは基礎的部分を中心にした全体的な survey を，作用素環論の専門家以外にも読めるように書いてみたいと思う．なお， Jones index 理論については，すでにこの “数学” に幸崎秀樹氏による解説 [35] がある．また，作用素環論の一般的教科書として， [57, 58] をあげておく．

１． II_{1} factor と Jones index

まず，ここでの理論の対象になる作用素環について簡単に説明しておこう．無限次元可分 Hilbert 空間 Hをとり，そのうえの有界線型作用素すべてからなる Banach 環を B(H) と書く． B(H) 内で， ∗-演算 (adjoint) で閉じた，単位元 (恒等作用素) をふくむ部分環が，作用素の強位相 (弱位相でも同じ) について閉じているとき， von Neumann 環と呼ばれる．さらに， von Neumann 環 Mが次の３条件を満たすような linear functional tr を一意的に持つ場合， Mは II_{1} factor であると言われる．

(1) tr(xy) = tr(yx), x, y ∈ M,  (2) tr(x^{∗}x) ≥ 0, x ∈ M,  (3) tr(1) = 1.

このような II_{1} factor の簡単な作り方としては，次のものがある．有限次元環の増大列 M_{2}(C) ⊂ M_{2}(C) ⊗ M_{2}(C) ⊂ M_{2}(C) ⊗ M_{2}(C) ⊗ M_{2}(C) ⊂ … を， x ↦ x ⊗ 1 という埋込みで考え，この増大列の和 A を自分自身に左からの掛け算で作用させる．次に通常の線型代数での trace を行列のサイズで割ったものを考えれば，これは，上の埋込みと両立するので，これを tr と書く．そして， A 上の内積を (x, y) = tr(y^{∗}x) で定め，完備化して得られる Hilbert 空間上に A が作用していると思う．ここで， M の作用素の弱位相に関する閉包 Mを取れば， tr は自然に M上に延長され， Mは II_{1} factor となる．この II_{1} factor は，特に重要なものであり，有限次元環の増大列で近似されることから approximately finite dimensional (AFD) と呼ばれる． AFD II_{1} factor は，すべて同型であることが知られている．

Jones が考えたことは， II_{1} factor Mの中に別の II_{1} factor Nが埋込まれているときの入り方を調べることであった．この時， Nを Mの subfactor という．現在の立場から見ると，古典的作用素環論の多くの分類問題が subfactor の分類問題に帰着することが知られている． Jones [27] は， subfactor N ⊂ Mのもっとも簡単な invariant として， Jones index [M : N] の研究を始めた．これは， Mを Nによる左からの掛け算で左 N-module と思った際の rank と言うべきものである．これは無限次元空間 M のサイズを Nを基準にして測ったとも思えるし， Galois 理論の類似と思うと，これは拡大次数に相当するものとも思える． (一般に II_{1} factor Mが Hilbert 空間 Hに作用しているとき， Hの M-module としての “rank” が， Murray-von Neumann によって coupling constant の名のもとに定義されており，これは，任意の正の実数値を取り得る．これを， Hが左 module か右 module かに応じて， dim_{M}H, dim H_{M}と書く． ) そして， Jones [27] は， index [M : N] がどのような値を取り得るかを研究し，取り得る値の集合は {4 cos^{2}(π/n) | n = 3, 4, 5,… } ∪ [4, ∞] であることを発見した．

Jones は，この index の値の決定のため， C. Skau によって導入されていた basic construction を利用した．以下すべて， [M : N] < ∞ としておこう．まず， N, M を上のように trace から定まる内積で完備化して得られる Hilbert 空間をそれぞれ L^{2}(N), L^{2}(M) と書こう． L^{2}(N) は，自然に L^{2}(M) の部分空間と見なせるので， Jones projection と呼ばれる L^{2}(N) への直交射影 e_{1}が定まる． N, Mは左掛け算により， L^{2}(M) 上に作用していると見なせるので， Mと e_{1}で生成される von Neumann 環 M_{1}を作ることができる．この時重要なことは， M_{1}は， tr(e_{1}) = [M : N]^{−1}となる trace を持つ II_{1} factor になり， [M_{1} : M] = [M : N] が成り立つことである．この操作を basic construction という．次いで， M ⊂ M_{1}に basic construction を繰り返せば， e_{2}, M_{2}を L^{2}(M_{1}) 上に作ることができ，こうして，次々Hilbert 空間を取り替えながら basic construction を繰り返すことにより， Jones projection の列， e_{1}, e_{2}, e_{3},… と II_{1} factor の増大列 N ⊂ M ⊂ M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ ⋯ を作ることができる． Jones projection の間には次の有名な関係式が成り立つ．

e_{i}e_{i±1}e_{i} = [M : N]^{−1}e_{i},  e_{i}e_{j} = e_{j}e_{i},  |i − j| ≠ 1.

これが， braid 群の表現を与え， Markov の定理を経由して有名な結び目の不変量 Jones 多項式 [28] を生み出したのである．

Jones はさらに， subfactor の不変量として， index よりも詳しい情報を求めることを考え， N′ ∩M_{k} = {x ∈ M_{k} | xy = yx, ∀y ∈ N} を考えた．これは higher relative commutant と呼ばれ， [M : N] < ∞ であれば，すべての kについて有限次元である．次に higher relative commutant の増大列 N′ ∩ N = C ⊂ N′ ∩ M ⊂ N′ ∩ M_{1} ⊂ N′ ∩ M_{2} ⊂ … の Bratteli diagram に注目しよう．ここで， Bratteli diagram とは，次のようなものである．一般に，有限次元の作用素環は行列環の直和に同型になる．そこで，有限次元作用素環のペア A ⊂ Bに対し， A, Bをそれぞれ直和因子に分解し， A の一つの直和因子 A_{0}が Bの一つの直和因子 B_{0}にどのように入っているかを見る． A_{0}は， M_{k}(C) に同型となり，その単位元を p とすれば， A_{0} ⊂ pB_{0}p は必ず， M_{k}(C) ⊂ M_{kl}(C) という入り方になっているので，その時， A_{0}という直和因子を表す点から B_{0}という直和因子を表す点まで l本の線を引くのである．

(図１)

この時，実は上の例のように，各段階から次の段階への埋込みを示すグラフを見ると，それは前段階の折り返しプラス新しい部分となっていることがわかる．この新しい部分だけを取ったもの (上の例の太線の部分) を subfactor の principal graph といい，その出発点に∗という記号を付ける．これは， subfactor の重要な invariant で， Jones によって導入された．一般には，このグラフが有限になる理由は何もないが，これが有限であるとき， subfactor は finite depth であると言われる．さらに，同様のグラフを別の higher relative commutant の増大列 M′ ∩ M = C ⊂ M′ ∩ M_{1} ⊂ M′ ∩ M_{2} ⊂ M′ ∩ M_{3} ⊂ … に対しても定義することができ， dual principal graph と呼ぶ． Principal graph が有限であれば， dual principal graph も自動的に有限になる．この finite depth 条件は， Wess-Zumino-Witten model で有限 level で切ることや，量子群を 1 の巾根で見ることと，類似した条件である．以下，考える subfactor は finite depth であると仮定する．

２． Bimodule と intertwiner, Frobenius reciprocity

さて，上で扱った index や principal graph は， subfactor N ⊂ M の構造を記述するデータの一部ではあるが，あまり Galois 群の類似のようには見えない．これを，もっと概念的に明確な paragroup という形で，とらえたのが A. Ocneanu [43, 44, 45] であった．なお， Galois 群の直接的な類似として， {α ∈ Aut(M) | α(x) = x, ∀x ∈ N} を考えても，この群は，量子群や共形場理論に関連した subfactor の場合ほとんど常に {1} となってしまって役に立たないことに注意しておく．

Ocneanu の出発点となったのは， II_{1} factor の bimodule を中心にする見方であった．作用素環の bimodule の重要性は Connes によって強調され， Popa [51] に詳しい．まず， M自身を M, Nの左，右からの掛け算により， M-M, M-N, N-M, N-N の 4 種の bimodule と思う． (正確には， bimodule としての Mは，完備化された Hilbert 空間 L^{2}(M) であるが，簡単のため，単に Mと書く．以下，同様である． ) 最初の重要なポイントは， bimodule に対して，相対的なテンソル積が定義されて，しかも M ⊗_{N} M は， x ⊗ y ↦ xe_{1}yの対応で， bimodule として M_{1} と自然に同一視されることである． ([17]) さらに，帰納法により， M_{k}は， bimodule として M ⊗_{N} M ⊗_{N} ⋯ ⊗_{N} M (k + 1 個) と自然に同一視される．これをもとに， Ocneanu は higher relative commutant の tower と principal graph が以下のように自然にとらえられることを見出した．まず， N-N bimodule Xに対して， End(_{N}X_{N}) で， bimodule としての endomorphism 全体，より正確にいえば Hilbert 空間 X上の有界線型作用素で Nの左右からの作用と可換なもの全体を表す．ほかの 3 種の bimodule についても同様であり，また左 (右) module としての endomorphism も同様に考える．一般に， End(M_{k}_{N}) が， N ⊂ M_{k}の basic construction として自然に M_{2k+1}と同一視される ([49] 参照) ことから， higher relative commutant の tower N′ ∩ N = C ⊂ N′ ∩ M ⊂ N′ ∩ M_{1} ⊂ N′ ∩ M_{2} ⊂ N′∩M_{3} ⊂ … が， End(_{N}N_{N}) ⊂ End(_{N}M_{M}) ⊂ End(_{N}M_{N}) ⊂ End(_{N}M ⊗_{N} M_{M}) ⊂ End(_{N}M ⊗_{N} M_{N}) ⊂ ⋯ と同一視できることがわかる．ここで，後者の増大列の埋込みは， End(_{N}M_{k}_{M}) ⊂ End(_{N}M_{k}_{N}) という自明な埋込みと， x ↦ x ⊗_{N} id_{M}によって与えられる End(_{N}M_{k}_{N}) ⊂ End(_{N}M_{k} ⊗_{N} M_{M}) という埋込みが交互に現われている．このようにして得られる埋込みが， higher relative commutant の tower の埋込みと同一視できることは，前者のタイプの埋込みについては明らかで，後者については比較的簡単な計算でわかる．

以上のことから， higher relative commutant の Bratteli diagram および principal graph が次のように bimodule の言葉で書けることになる．まず，各段階で，_{N}M_{k}_{N} または，_{N}M_{k}_{M}を bimodule としての既約成分に分解し，各既約成分の同型類ごとに点を一つ書く． (既約成分の数は有限である． ) 次いで，前者の場合，_{N}X_{N}から， NY_{M}に向かって，_{N}X ⊗_{N} M_{M}の既約分解に含まれる_{N}Y_{M}(に同型な bimodule) の数だけ，線を引き，また後者の場合，_{N}Y_{M}から，_{N}X_{N}に向かって，_{N}Y ⊗_{M} M_{N} = _{N}Y_{N} の既約分解に含まれる_{N}X_{N} の数だけ，線を引く．こうして得られるものが，求める Bratteli diagram である．この Bratteli diagram が，各段階で “前段階の折り返しプラス新しい部分” になっている，というのは，_{N}X ⊗_{N} M_{M}の既約分解に含まれる NY_{M}の数が，_{N}Y ⊗_{M} M_{N} = _{N}Y_{N}の既約分解に含まれる_{N}X_{N}の数に等しいということである．これは，表現論における Frobenius reciprocity の類似であり，この事自体も Frobenius reciprocity と呼ばれる．また， principal graph は，_{N}N_{N}から出発し， NM_{M}, _{M}M_{N}で交互に右からの相対テンソル積を作っていき，その分解の様子を書いたグラフと解釈できる．こう思ったとき，再び表現論との類似で， principal graph の代わりに， induction-restriction graph ともいう．

さて以上のように， (dual) principal graph の解釈のしかたはわかったが，これだけではまだ情報として不十分であり，次のステップとして Bratteli diagram 上の∗ から出発する長さ有限の下向きの path に intertwiner を対応させることが必要である．そのためには， Frobenius reciprocity についてもう少し詳しく見ておく必要がある．まず，一般に既約 bimodule _{N}X_{N}, _{N}Y_{M}に対し，_{N}X ⊗_{N} M_{M}の既約分解に含まれる_{N}Y_{M}の数が m であるとすると，上の End と同様に定義された Hom(_{N}X ⊗_{N} M_{M},_{N}Y_{M}) の次元は m であり，またこの Hom の元， ξ, ηに対し，内積 (ξ, η) = ξη^{∗} ∈ End(_{N}Y_{M}) = C が定まることに注意する． (最後のところで， C を得るのは，_{N}Y_{M}の既約性による． ) そこで， Hom(_{N}X ⊗_{N} M_{M},_{N}Y_{M}) の上の内積に関する正規直交基底 {ξ_{1}, ξ_{2},…, ξ_{m}} を取ろう．内積の定義から各ξ_{j}は coisometry であることに注意する．このとき， Frobenius reciprocity によって， Hom(_{N}Y ⊗_{M} M_{N},_{N}X_{N}) の次元も m であるが，ここでの正規直交基底を上のξ_{j}をもとにして書き表したいのである．そこでまず ξ_{j} ∈ Hom(_{N}X⊗_{N} M_{M},_{N}Y_{M}) に対し， ξ′_{j}(y⊗_{M} a) = \sqrt{dim X_{N}/ dim Y_{M}}π_{r}(a^{∗})^{∗}ξ^{∗}(y) で， ξ′_{j} ∈ Hom(_{N}Y ⊗_{M} M_{N},_{N}X_{N}) を定める．ただし，ここで， y ∈ _{N}Y_{M}, a ∈ _{M}M_{N}, a^{∗} ∈ _{N}M_{M}としており， π_{r}(a^{∗}) : _{N}X_{N} → _{N}X ⊗_{N} M_{M}は， x ∈ _{N}X_{N}に対してπ_{r}(a^{∗}) : x ↦ x ⊗_{N} a^{∗}で定義される．すると係数\sqrt{dim X_{N}/ dim Y_{M}}のおかげで \{ξ′_{h}\} が再び正規直交基底となることがわかる． ([46, 65]) また同様に， Hom(_{N}Y ⊗_{M} M_{N},_{N}X_{N}) の正規直交基底 {η_{j}} から， Hom(_{N}X ⊗_{N} M_{M},_{N}Y_{M}) の正規直交基底 {η′_{j}} が，作れ， ξ′′_{j} = ξ_{j}となることが示せる．そこで，以下の手続きを繰返し， Bratteli diagram 上の各辺に intertwiner を対応させていこう．

(0) k = 0 とし， level 0 での bimodule として，_{N}N_{N}を取る．

(1) kの偶奇に応じ， level kに現われた bimodule に対して，右から_{N}M_{M}または MM_{N}をテンソルし，その結果を既約分解して， level k + 1 の bimodule とする．

(2) その結果現われた Bratteli diagram の辺のうち前段階の折返しであるものについては，前段階で割当てた intertwiner ξから得られるξ′を対応させる．その他の辺については，新しく intertwiner の正規直交系を選んで各辺に割当てる．

(3) kを一つ増やして (1) に戻る．

今， finite depth を仮定しているので，いつかは (1) で出てくる新しい bimodule はなくなることに注意する．次いで， Bratteli diagram 上の∗から発する下向きの ( 長さ有限の)path に intertwiner を対応させることを考える．例として，長さ 3 の path を取り， 3 つの辺には，上から順に intertwiner ξ_{1} : _{N}N ⊗_{N} M_{M} → _{N}X_{1}_{M}, ξ_{2} : _{N}X_{1} ⊗_{M} M_{N} → _{N}X_{2}_{N}, ξ_{3} : _{N}X_{2} ⊗_{N} M_{M} → _{N}X_{3}_{M}が対応しているとしよう．このときこの path には，上の 3 つの intertwiner の合成， ξ_{3}(ξ_{2} ⊗ id_{_{N} M_{M}})(ξ_{1} ⊗ id_{_{M} M_{N}} ⊗ id_{_{N} M_{M}}) : _{N}N ⊗_{N} M ⊗_{M} M ⊗_{N} M_{M} → _{N}X_{3}_{M}を対応させる．一般の場合も同様である．

次に今度は， Bratteli diagram 上の∗から発する下向きの (長さ有限の)path 2 つで，長さと終点が等しいものξ_{+}, ξ_{−}を取る．上の対応によってこれらの path を intertwiner の合成と同一視し，この 2 つのペア (ξ_{+}, ξ_{−}) で， intertwiner の合成ξ_{+}^{∗}ξ_{−}を表す．上の例のように， ξ_{+}, ξ_{−}の長さが 3 であれば，この合成は， End(_{N}N ⊗_{N} M ⊗_{M} M ⊗_{N} M_{M}) = End(_{N}M_{1}_{M}) = N′ ∩ M_{2}に入る．一般に， path のペア (ξ_{+}, ξ_{−}) の長さが， k であれば， intertwiner の合成ξ_{+}^{∗}ξ_{−}は， N′ ∩ M_{k−1}の matrix unit を与え，また次元を数えることにより， N′ ∩ M_{k−1}全体がこのような (ξ_{+}, ξ_{−}) 全体によって張られることもわかる．次に埋込み N′ ∩ M_{k−1} ⊂ N′ ∩ M_{k}がこの見方からどのように見えるかを調べると，長さ kの (ξ_{+}, ξ_{−}) は，長さ k + 1 の∑_{η}(ξ_{+} · η, ξ_{−} · η) として， N′ ∩ M_{k−1} から N′ ∩ M_{k}に埋込まれていることがわかる．ここで， ηは， ξ_{±}の終点から発する長さ 1 の path を表し， ξ_{±} · ηは， path の連接を表す． (Path をつなげる場合は，下に来る path を後ろに書く，という順番で書いているため，対応する intertwiner の合成とは，積の順番がひっくり返ってしまっていることに注意． ) これによって，有限次元環の増大列 {N′ ∩ M_{k}}_{k} に特定の基底が取れたわけである． Ocneanu は，ペア (ξ_{+}, ξ_{−}) を string と呼び，このような有限次元環の増大列の構成法を string algebra と呼んでいる．

さて，以上で，増大列 {N′ ∩ M_{k}}_{k}を見たが，これだけでは subfactor を復元する情報としては不十分である．そこで，以下の増大列を考えよう．

End(_{N}N_{N}) ⊂  End(_{N}M_{M})  ⊂  End(_{N}M_{N})  ⊂ ⋯
∩  ∩  ∩
End(_{M}M_{N}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{M}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}) ⊂ ⋯

ここで， 1 行目の右向きの埋込みは上述のもの， 2 行目も同様であり， 1 行目から 2 行目への下向きの埋込みは，たとえば End(_{N}M_{N}) ∋ ξ ↦ id_{_{M} M_{N}} ⊗ξ ∈ End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}) で与えられる．上と同様の考察により，上のダイアグラムの 2 行目は， M′ ∩ M_{1} ⊂ M′ ∩ M_{2} ⊂ M′ ∩ M_{3} ⊂ ⋯ という増大列と同一視される．第 1 行は， N′ ∩ N ⊂ N′ ∩ M ⊂ N′ ∩ M_{1} ⊂ ⋯ と同一視されていたが，ダイアグラムの下向きの埋込みを用いて，ここに現われる N′ ∩ M_{k}を第 2 行目に対応する M′ ∩ M_{k+2}に埋込んだと思えば，その埋込みの像は実は M′_{1} ∩ M_{k+2}に等しいことが簡単な計算でわかる．これより，上のダイアグラムは下のものと同一視される．

M′_{1} ∩ M_{1} ⊂ M′_{1} ∩ M_{2} ⊂ M′_{1} ∩ M_{3} ⊂ ⋯
∩ ∩ ∩
M′ ∩ M_{1} ⊂ M′ ∩ M_{2} ⊂ M′ ∩ M_{3} ⊂ ⋯

上述の string algebra の方法を用いれば，ここに現われる各有限次元環に付き，定まった基底が取れることがわかる． (すなわち，上のダイアグラムの Bratteli diagram を書けば，その上の∗から出発し，右または下向きに進む長さ有限の path に intertwiner の合成が対応する．増大列 {N′ ∩ M_{k}}_{k} の Bratteli diagram は前は下向きに書いていたが，ここでは右向きに書いていることに注意． ) ところが，今度は，同一の環に対して自然な基底の取り方が複数ある．たとえば，上のダイアグラムで， End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}) を取ると End(_{N}N_{N}) = C から出発するのに， End(_{N}N_{N}) ⊂ End(_{N}M_{M}) ⊂ End(_{N}M_{N}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}), End(_{N}N_{N}) ⊂ End(_{N}M_{M}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{M}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}), End(_{N}N_{N}) ⊂ End(_{M}M_{N}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{M}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}) の 3 通りの行き方があり，この 3 つは，それぞれ異なった基底を与える．これらの基底の間の変換を与えるのが， connection である．上の 3 通りのうち，最初の 2 つに注目しよう．長さ 3 の path を作るとき，これら 2 つは，最初の部分 End(_{N}N_{N}) ⊂ End(_{N}M_{M}) は同じであるから，違いを生じるのは，その右のブロックで， path が右上を通るか，左下を通るかである．そのため，このブロックの左上の頂点 (N-M bimodule)A から出発し，右上の頂点 (N-N bimodule)Bに至る path ξ_{1}，そこから右下の頂点 (M-N bimodule)Dに至る path ξ_{2}を取り，また，左上の頂点 (N-M bimodule)A から出発し，左下の頂点 (M-M bimodule)Cに至る path ξ_{3}，そこから右下の頂点 (M-N bimodule)Dに至る path ξ_{4}を取る．このとき，合成ξ_{2}(id_{_{M} M_{N}} ⊗ ξ_{1}) とξ_{4}(ξ_{3} ⊗ id_{_{M} M_{N}}) は，ともに Hom(_{M}M ⊗_{N} A ⊗_{M} M_{N}, D) に属し，各ξ_{j}を動かしたとき，上の 2 つの合成はともに，この Hom の正規直交基底を与える．そこで， A, B, C, D, ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}, ξ_{4}で定まる 4 角形に対し，複素数ξ_{4}(ξ_{3}⊗id_{_{M} M_{N}})(id_{_{M} M_{N}} ⊗ξ_{1})^{∗}ξ_{2}^{∗} を対応させ，下の図形で，この数を表すことにしよう．

A ⟶^{ξ_{1}} B
ξ_{3}↓  ↓^{ξ_{2}}
C ⟶_{ξ_{4}} D

この種の図形は，左上の頂点が， N-N bimodule であるか N-M bimodule であるかの 2 通りがあり，いずれの場合も unitarity と言われる等式，

∑_{B,ξ_{1},ξ_{2}} \begin{matrix}A & ⟶^{ξ_{1}} & B \\ ^{ξ_{3}}↓ & & ↓^{ξ_{2}} \\ C & ⟶_{ξ_{4}} & D \end{matrix} · \overline{\begin{matrix}A & ⟶^{ξ_{1}} & B \\ ^{η_{3}}↓ & & ↓^{ξ_{2}} \\ C′ & ⟶_{η_{4}} & D \end{matrix}} = δ_{ξ_{3},η_{3}}δ_{ξ_{4},η_{4}}δ_{C,C′},

が成り立つ． (A から Dに行く長さ 2 の path の数は， Bを経由しても Cを経由しても同じである． ) さらに， Frobenius reciprocity に現われる係数に注意すれば，

\begin{matrix}A & ⟶^{ξ_{1}} & B \\ ^{ξ_{3}}↓ & & ↓^{ξ_{2}} \\ C & ⟶_{ξ_{4}} & D \end{matrix} = \sqrt{\frac{μ(B)μ(C)}{μ(A)μ(D)}} \overline{\begin{matrix}B & ⟶^{ξ̃_{1}} & A \\ ^{ξ_{2}}↓ & & ↓^{ξ_{3}} \\ D & ⟶_{ξ̃_{4}} & C \end{matrix}}

が成り立つことが計算によってわかる． ([46, 65]) ただし，ここで， ξ̃_{j}は， ξ_{j}の逆向きにした path を表し， μ(A) は， A が， N-N, N-M, M-N, M-Mのいずれの bimodule かによって， dim_{N} A, [M : N]^{−1/2} dim_{N} A, [M : N]^{1/2} dim_{M} A, dim_{M} A を表す．この式は， renormalization rule, crossing symmetry などと言われる． Renormalization rule と unitarity をあわせて biunitarity と呼ぶ．

上のダイアグラムに対応する Bratteli diagram を右向きに見ていけば，各段階は一つ左の段階の graph を右に折り返し，新たに何かを加えたことになっていることがわかる． Finite depth という仮定はこの，新たに加わる部分が途中でおしまいになる，ということであるから，結局，以下のような 4 つの graph が絡み合ったものが得られる．

• ⟶^{G} •
G′↓  ↓^{H}
• ⟶_{H′} •

ここで，左上の頂点には， M ⊗_{N} ⋯ ⊗_{N} Mの既約分解に現われる N-N bimodule，右上には N-M bimodule，左下には M-N bimodule，右下には M-M bimodule が現われる．ここで， G, G′は抽象的なグラフとしては同じものであり， principal graph に等しいことが次のようにわかる．すなわち，グラフ Gは， N-N bimodule Xに右から NM_{M}をテンソルしたときの分解のしかた_{N}X ⊗_{N} M_{M} = ⊕_{j}n_{j}_{N}(Y_{j})_{M}によって決まるが，この式の両辺で， conjugate bimodule に移れば_{M}M ⊗_{N} X̄_{N} = ⊕_{j}n_{j}_{M}(Ȳ_{j})_{N}を得る．（ただし，ここで一般に bimodule Xの conjugate bimodule X̄ とは， Hilbert 空間としては， conjugate Hilbert space X̄ であり，そこに左右の作用を x·ξ̄·y = \overline{y^{∗} · ξ · x^{∗}} と定めたものである．）これが，左からの_{M}M_{N}によるテンソル積の分解のしかたを与えており， Hと H′についても同様に dual principal graph に等しくなる．

このとき，上の量μ(·) は，これらのグラフに対し，固有値 [M : N]^{1/2}の Perron-Frobenius 固有ベクトルを与えることがわかる．たとえば， N-N bimodule Xに対し， [M : N]^{1/2}μ(X) = ∑_{_{N} Y_{M}} μ(Y) となる．ただし，ここで∑_{_{N} Y_{M}} は， principal graph によって Xとつながっている Y についてのみの和であり，また， Xと Y をつなぐ辺が n 本のときは， μ(Y) は n 回加える．抽象的に，上のような 4 つのグラフが絡み合った状況を考え，そこから上のように作った 4 角形に複素数を対応させる規則が与えられており，それが biunitarity を満たすとき， biunitary connection(あるいは単に connection) と言われる．

さて，ここで End の異なる基底の間の関係を調べる問題に戻ろう． End(_{N}N_{N}) ⊂ End(_{N}M_{M}) ⊂ End(_{N}M_{N}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}) という順番によって得られる， End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}) の matrix unit の一つ (ξ_{1,+} · ξ_{2,+} · ξ_{3,+}, ξ_{1,−} · ξ_{2,−} · ξ_{3,−}) を取る．これを， End(_{N}N_{N}) ⊂ End(_{M}M_{N}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{M}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}) という順番によって得られる基底に関する表示に置き換えよう．それには後者の基底 {(η_{1,+} · η_{2,+} · η_{3,+}, η_{1,−} · η_{2,−} · η_{3,−})} に対し，

∑ c_{ξ_{1,+}·ξ_{2,+}·ξ_{3,+},η_{1,+}·η_{2,+}·η_{3,+}} c̄_{ξ_{1,−}·ξ_{2,−}·ξ_{3,−},η_{1,−}·η_{2,−}·η_{3,−}}(η_{1,+}·η_{2,+}·η_{3,+}, η_{1,−}·η_{2,−}·η_{3,−})

と表示したときの係数を求めればよいが，この c_{ξ_{1,+}·ξ_{2,+}·ξ_{3,+},η_{1,+}·η_{2,+}·η_{3,+}}は次のように書かれる．

∑_{ζ}\begin{matrix}∗ & ⟶^{ξ_{1}} & · \\ ^{η_{1}}↓ & & ↓^{ζ} \\ · & ⟶_{η_{2}} & · \end{matrix} \begin{matrix}· & ⟶^{ξ_{2}} & · \\ ^{ζ}↓ & & ↓^{ξ_{3}} \\ · & ⟶_{η_{3}} & · \end{matrix} = \begin{matrix}∗ & ⟶^{ξ_{1}} & · & ⟶^{ξ_{2}} & · \\ ^{η_{1}}↓ & & & & ↓^{ξ_{3}} \\ · & ⟶_{η_{2}} & · & ⟶_{η_{3}} & · \end{matrix}

ただし，ここで左辺のζは， ξ_{1}の終点とη_{2}の終点を結ぶすべての辺を動き，右辺は，左辺によって定義されている． (すなわち，内側の辺の書かれていないところに対しては，すべての可能な埋め方について和を取り，おのおのの埋め方については， connection の積を取る，ということである． ) c_{ξ_{1,−}·ξ_{2,−}·ξ_{3,−},η_{1,−}·η_{2,−}·η_{3,−}} についても同様であり，またもっと長い path についても同様である．これらの係数は，統計力学の partition function に類似していることに注意しておく．

次に，増大列 {M′_{1} ∩ M_{k}}_{k}と {M′ ∩ M_{k}}_{k}のそれぞれの “極限” を M′_{1} ∩ M_{∞}, M′ ∩ M_{∞}と書く． (正確には，増大列の trace に関する GNS-表現の弱閉包である． ) すると， N, Mが AFD で， finite depth を持つ場合 M′_{1} ∩ M_{∞} ⊂ M′ ∩ M_{∞}が N ⊂ Mに anti-isomorphic な subfactor を与えることが知られている．この事は，最初 Ocneanu [43] によって主張されたが，その証明は発表されないまま， Popa [52] によって証明が与えられ，さらに Popa [53] は，このことが成り立つための必要十分条件 (finite depth より弱い) を最終的な形で与えた．したがって， connection を知っていれば，もとの subfactor は完全に復元できることになるのである．ただし， intertwiner の正規直交基底の選び方は一意的ではないので， connection も cohomological な同値類のみが subfactor の invariant として得られることに注意する．正確な同値関係は， Ocneanu [43, page 154] のように，この cohomological な関係とグラフの同型によって定まる．

３． biunitary connection の flatness

上のことから， (AFD で有限 index, finite depth を持つ)subfactor を分類するには， connection(の同値類) を分類すればいいことがわかった．しかし， biunitarity だけでは， subfactor から生じる connection を特徴付ける公理としては不十分であり，それを補うのが flatness と言われる公理である．

2 つの bimodule _{N}N_{N}, _{M}M_{M}は，テンソル積について単位元の役割を果たす．このうちの一つを，今∗と書くことにしよう．これは， (dual) principal graph の出発点∗ に対応している．上では，横に長い長方形のダイアグラムに対し， partition function の類似を考えたが，さらに縦横にのびた長方形のダイアグラムを考えよう．それには，以下の End の 2 重列を考えればよい．

End(_{N}N_{N}) ⊂  End(_{N}M_{M})  ⊂  End(_{N}M_{N})  ⊂ ⋯
∩  ∩  ∩
End(_{M}M_{N}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{M}) ⊂ End(_{M}M ⊗_{N} M_{N}) ⊂ ⋯
∩ ∩ ∩
End(_{N}M_{N}) ⊂ End(_{N}M ⊗_{N} M_{M}) ⊂ End(_{N}M ⊗_{N} M_{N}) ⊂ ⋯
∩  ∩  ∩
⋮  ⋮  ⋮

ここで，縦方向の埋込みは，左から_{M}M_{N}または_{N}M_{M}を交互にテンソルすることによって得られる．たとえば， 3 行目一番左の End(_{N}M_{N}) と 1 行目 3 番目の End(_{N}M_{N}) とは，もちろん同型ではあるが，同一視はされていない (3 行目 3 番目の End(_{N}M ⊗_{N} M_{N}) 内に違うものとして埋込まれている) ことに注意する．最初の 2 行に関する higher relative commutant との同一視の論法を一般化すれば，この 2 重列を {N′_{k} ∩ M_{l−1}} と同一視することもできる．ただしここで， {N_{k}} は，

⋯ ⊂ N_{2} ⊂ N_{1} ⊂ N_{0} = N = M_{−1} ⊂ M = M_{0} ⊂ M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ ⋯

が basic construction の列になるように選んだものであり，そのような選び方は本質的に一意的であることが， [48] で示されている．

さて，ここに現われる各 algebra に対し， matrix unit の系がいくつか取れる．異なった matrix unit の間の変換を得るには，上と同様にすればよいが，今度は，縦向きの Frobenius reciprocity (A → C, B → Dの矢印の方向を変える) も用いる．そして，一般に m × n の長方形に対する partition function の類似が座標変換の係数を与える．ここで，重要なことは，特定のタイプのこの係数が 1 または 0 になることである．すなわち，次のダイアグラムを見よう．

∗ ⟶^{ξ_{1}} · ⟶^{ξ_{2}} · · · · · ⟶^{ξm} ∗
η_{1}↓  ↓^{η_{1}}
·  ·
η_{2}↓  ↓^{η_{2}}
⋮  ⋮
η_{n}↓  ↓^{η_{n}}
∗ ⟶_{ξ_{1}} · ⟶_{ξ_{2}} · · · · · ⟶_{ξ_{m}} ∗

すると， 4 隅が∗であることと， intertwiner の合成の定義に戻って考えれば，右上を経由する intertwiner の合成と左下を経由するものとはいずれも

(η_{n}·(id⊗η_{n−1})·· · ··(id⊗⋯⊗id)⊗η_{1})⊗id_{N} ⊗(ξ_{m}·(ξ_{m−1}⊗id)·· · ··ξ_{1}⊗(id⊗⋯⊗id))

に等しいことがわかる．すなわち，上のダイアグラムの値は， 1 となる．また，左縦方向，または下右方向の辺の一部 t を変えれば， unitarity から新しいダイアグラムの値は 0 であることがわかる． ([46]) この条件を flatness という．これを (connection の)flatness というのは， ∗から発するループに添って “parallel transport” を行ったときループの形が変わらないという意味で，微分幾何の flat connection の (離散的な ) 類似と解釈できるからである． ([31, 43])

さて， flat な biunitary connection が抽象的に与えられたグラフの上にあったとしよう．このとき， string algebra の構成法に従い， ∗から発する string algebra の 2 重列 A_{k,l}が作れる．各 A_{k,l}上の異なる matrix unit の系の間の同一視が biunitary connection によって行われるわけである．この string algebra のシステムの上に trace が定まり，これによって ∪_{l}A_{k,l}の (GNS-表現に関する) 弱閉包として， II_{1} factor A_{k,∞} が定まる． Renormalization rule は，作用素環の言葉でいう commuting square 条件 [50, 17] を導き， A_{0,∞} ⊂ A_{1,∞} ⊂ A_{2,∞} ⊂ ⋯ は， Jones tower となる． ([45, 31, 10]) 線型代数的議論 [31, Theorem 2.1] により， flatness の公理は， A_{k,0} ⊂ A′_{0,∞} ∩A_{k,∞}を導き，すると， Wenzl の次元評価 [60, Theorem 1.6] によって，等号の成立がわかる．これを繰り返せば，最初，抽象的に作った A_{k,l}が，ある subfactor の higher relative commutant として現われることがわかる． ([32, §2]) 以上より， flat な biunitary connection(の同値類) が (AFD で有限 index, finite depth を持つ)subfactor と 1 対 1 に対応することがわかる．この (dual) principal graph と flat な biunitarity connection の組を paragroup という．これは，すぐ下で見るように，普通の有限群を “量子化” したものと思っているのである．

以上，すべて finite depth を仮定してきたが， infinite depth の場合は，もう二つの公理が必要である．それは， [45, II.6] で Ocneanu が amenability と呼んでいるものであるが， Popa の言葉では， higher relative commutant から生じる部分 von Neumann 環の extremality [48, 49] であり， strong amenability [53] に対応する． [53] にしたがえば，これは ergodicity と amenability の二つの公理によって表される．

Longo[39, 40] は， quantum field theory のアイディアに基づき， III 型の factor で， bimodule のかわりに sector というものを考えれば， Ocneanu 型の議論がずっと見通しよくできることを見出した． Paragroup の理論も sector に基づいて展開すれば，本質的には同じものが，より見やすい形で得られるであろう．

最後に，普通の有限群 G がどのように paragroup と見なせるかについてふれておく．まず，任意の有限群 G は， AFD II_{1} factor Rに outer に作用する．すると，群の半直積に似た，接合積といわれる構成により， R × G という大きな von Neumann 環を作ることができる．このとき， R × G も II_{1} factor であり， [R × G : R] = |G| < ∞ となる． N = R, M = R×G とおいて， paragroup の構成をすれば，現われる， N-N bimodule は， G の元で， parametrize され， M-M bimodule は， Ĝの元で paramertize され，また M-N, N-M bimodule はそれぞれ一つずつしかないことがわかる．また， principal graph の方は，唯一の N-M bimodule から， G の各元へ 1 本ずつ辺が出ているだけで， dual principal graph の方は，唯一の M-N bimodule から， Ĝの各元へその表現の次元だけの本数の辺が出ているのである．この paragroup の flat connection は，次の式で与えられる．

\begin{matrix}g & ⟶ & · \\ ↓ & & ↓^{j} \\ · & ⟶_{i} & σ \end{matrix} = σ_{ij}(g), g ∈ G, σ ∈ Ĝ.

この事は，標語的にいえば，すべての有限群は， AFD II_{1} factor 上の “量子 Galois 群” として現われる，ということである．

４． RCFT, TQFT と paragroup

最後に， paragroup と可解格子模型， (R)CFT, TQFT，量子群などとの関係を説明しよう．

まず， connection は，可解格子模型，特に IRF model と言われるものでの Boltzmann weight [2] に極めて似ている． (ただし， Boltzmann weight にある， spectral parameter に対応するものは paragroup には無い． ) また， biunitarity は，明らかに first/second inversion relations と言われる条件 [2] にそっくりである．そこで， paragroup の残りの公理である， flatness と IRF model での重要な条件 Yang-Baxter 方程式との関係が問題になる．残念ながらこの 2 つはどちらももう一つを導かないが，ある種のいい状況下では， flatness が， Yang-Baxter 方程式から導かれる． Jones の構成した A_{n}型の subfactor [27, 60](principal graph が Dynkin 図形 A_{n}) は， Andrews-Baxter-Forrester の model [1] に対応しており， Wenzl が A 型の Hecke algebra から構成した subfactor [60] の paragroup は， [10] で，神保-三輪-尾角 [24, 25] の Yang-Baxter 方程式解を用いて計算された．なお，結び目の多項式不変量では，前者が Jones 多項式 [28]，後者が HOMFLY 多項式 [16] に対応する．

次いで， CFT における A-D-E分類 [5, 29] との対応について説明しよう． Paragroup では， index が 4 未満のとき，対応する principal graph は， A-D-E型の Dynkin 図形でなくてはならないことは，早くから知られていたが [17]，おのおののグラフに対し，対応する paragroup の構造がいくつ入るかはもっと難しい問題である．これについては， Ocneanu [43] が証明無しに結果をアナウンスし，証明は， [3, 19, 21, 31, 56] によって得られている． ([18] も見よ． ) この分類と CFT での A-D-E分類との正確な対比も [12] で得られた．

次いで， Moore-Seiberg による RCFT に対する combinatorial なアプローチ [42] を取ろう．これも， paragroup によく似たものである．実際， de Boer-Goeree [4] は， Moore-Seiberg のデータから paragroup が作れることを見出した．特に， SU(N)_{k}の Wess-Zumino-Witten model から出発すれば，上述の Jones, Wenzl の subfactor が得られる．

また， [31] では， Dynkin 図形 D_{n}に対する paragroup の存在問題を解決するため， CFT, 可解格子模型での orbifold construction [8, 9, 14, 15, 37] の類似が原始的な形で用いられ，この方法は [10] で完全に一般的な方法として確立された．さらに， Xu [64] は， [4] との関係を見抜き， CFT の conformal dimension が orbifold construction で重要な役割を果たすことを発見した．

Turaev-Viro [59] は，一般化された 6j-symbol があれば， 3 角形分割に基づく TQFT が作れることを示し， Kirillov-Reshetikhin [34] の U_{q}(sl_{2}) に対応する quantum 6jsymbol をその例としてあげた．これは， closed 3-manifold に対しては， Witten [63] によって予言され， Reshetikhin-Turaev [55] によって確立された quantum SU(2) invariant の絶対値の 2 乗を与える． Ocneanu [46] は，この種の一般化された 6jsymbol が paragroup から生じること，また逆にこの種の 6j-symbol が paragroup を生み出すことを証明無しに主張した． (正確なステートメントと証明は， [11] を見よ． ) それにはまず， paragroup では， 4 種の bimodule がテンソル積の分解について閉じた代数系を成すことに注意する．これは，しばしば fusion algebra といわれるが，ここでは一般に積の可換性は成り立っていないことに注意する．そして， connection の一般化として 6 つの bimodule A, B, C, D, X, Y に対し，

X ⊗ A ⊗ Y ⟶^{id_{X} ⊗ξ_{1}} X ⊗ B
ξ_{3}⊗id_{Y} ↓  ↓^{ξ_{2}}
C ⊗ Y  ⟶_{ξ_{4}} D

というダイアグラムでの intertwiner の合成， ξ_{4}(ξ_{3} ⊗ id_{Y})(id_{X} ⊗ ξ_{1})^{∗}ξ_{2}^{∗}を対応させる規則を (quantum) 6j-symbol と思う．すなわち， X, Y としてこの代数系の中の一般の bimodule を取るのである．すると， 6j-symbol の tetrahedral symmetry といわれる条件は， Frobenius reciprocity から成り立つことがわかる．また， 6j-symbol の unitarity は，そのまま paragroup のときの unitarity と同じである．そして， TQFT を作る際，結果が 3 角形分割の仕方によらないことを示すため， Alexander の定理の改良 [41 ,47] が用いられるが，そこで要求される 6j-symbol の条件 [59] は pentagon relation と言われるものである．これが実は， flatness と同値な条件なのである．この事は，一見したところでは，少しも明らかではないが， [11] で，完全な証明が与えられた．

以上， paragroup と最近流行のテーマとの関連を見て来たが，実は，作用素環論の古典的な見方も paragroup に対する重要な視点を与えることを最後に指摘しておこう．作用素環論では，自己同型群の研究が重要な位置を占めており， subfactor においても， [6, 30, 33, 36, 38, 54, 61, 62] など多くの研究がある．そこで実は， orbifold construction に現われる paragroup の対称性を表す自己同型 [10, 31, 32, 64], 泉の研究 [19, 20, 22, 23] に現われる fusion algebra の中の自己同型， Connes が導入した II_{1} factor の不変量χ(M) [7, 26] の subfactor 版 [33] を与える自己同型，冨田-竹崎理論 [58] に現われる自己同型などが極めて似通った構造を示しているのである．この事は，標語的にいえば， subfactor の研究は， III 型 von Neumann 環の研究の離散版だ，ということである．詳しくは， [13, 33] を見られたい．

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