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\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{1999年度3年生解析学VI期末テスト・略解・解説}
\rightline{2000年2月10日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

1番の配点は，正解で0点，不正解で$-20$点です．その後の問題は
各30点の150点満点です．最高点は
125点で得点分布は次のとおりでした．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&&\omit &&\omit &\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--19 (点) && 20--39 && 40--49 && 50--59  && 60--69 && 70--79 && 80--89 &&
90--99 && 100-- & \cr
\vsp\t
& 6(人) &&  3 && 6 && 5 && 5 && 2 && 1 && 0 && 2 & \cr
\vsp\t
}}$$

平均点は46.7点でした．
30点未満がD(6人)，30点〜44点がC(6人)，45〜64点がB(9人)，
65点以上がA(9人)です．点数の横に赤字で書いてあるのがこの
授業の成績です．ただし，2人については演習の
小テストの成績が特に良かったのでD$\to$B, B$\to$Aというアップをして
います．この人たちの成績には赤字に丸印がついています．
また演習の成績はその横に青字で書いてあります．一度も小テスト
を受けていない人には「未受験」の「未」が書いてあります．
2人について，期末テストの成績が前に予告した小テストの通算成績
より特に良かったので，その分のアップがついています．
この人たちの成績には同様に青字に丸印がついています．その他の
人の演習の成績は小テストの通算成績から変わっていません．
ただし実際に成績表につく成績は，この成績と大島先生のほうの演習の
成績との良い方です．

以下各問題について簡単に解説します．

\bigskip [1] これは予想以上に悪いできでした．できなかった人は
必ずきちんと確認しておいてください．不等号を逆向きに
書いた人は$-20$点，「正値」というのを忘れた人は$-10$点です．
(不等号の向きに不安があれば，例を考えてみればすぐにわかるでしょう．)

\bigskip [2] ずるくやれば，
$-2\pi i \chi_{[0,\infty)}(\xi) e^{-\xi}$を逆Fourier変換すれば
問題の関数になるので，これが答えです．
あとは，超関数を使う，留数を直接計算する，などの方法でももちろん
できます．留数の方は，問題の関数が$L^1$ではなく$L^2$なだけなので，
なぜ積分路を大きくした極限として求められるのか，説明が必要です．

\bigskip [3]
$f(kx)$のFourier係数を$b_n$とおいて定義どおりやれば，
$$b_n=\cases
a_{n/k},&\quad
\text{$n$が$k$の倍数の時},\\
0,&\quad \text{それ以外の時},\endcases$$
になります．$f(x)$のFourier級数展開の式でいきなり
$x$に$kx$を代入する方がさらに簡単ですが，収束の意味($L^2$-収束)に
ついてきちんと説明して理由を書く必要があります．

\bigskip [4]
これはよくできてました．まじめに順番にやれば簡単です．

\bigskip [5] これはPoissonの和公式の証明と同様にやれば
できます．答えは$\dsize\sum_{n\in\Z} a_n \delta_n$です．
収束のことを考えずに形式的にやっても正しい答えは出ますが，
説明が不十分なら減点です．

\bigskip [6]
これはちゃんとできていた人は一人もいませんでした．
$(1+|\xi|^2)^s |\hat f * \hat g (\xi)|^2$が可積分であることを
示すことになりますが，$s$だけで決まる定数$C$があって，
$$(1+|\xi|^2)^s \le C((1+|\xi-\eta|^2)^s+(1+|\eta|^2)^s)$$
と評価できることを使えば，あとは$g\in H^s(\R)$なので
Youngの不等式の証明と同様にしてできます．

\bye