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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説(4)}
\rightline{1999年11月30日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

\bigskip
配点は[1]から順に30, $10\times 4$, 30点です．
採点はteaching assistantの船越君です．
平均は53.5点，最高は100点でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip [1]
$\hat f(\xi)\hat f(\xi)=\pi^2 e^{-|2\xi|}$を逆Fourier
変換して，$\dfrac{2\pi}{4+x^2}$が答えである．

\bigskip [2]
(1) 普通に計算して
$$\dfrac{-2i}{\pi}\sum_{n: {\text{odd}}}\frac{1}{n}e^{inx}$$
である．

(2) $f(x)$は，$(\pi,0), (0,\pi)$で微分可能で微分したものは
有界である．つまり11/9にやった定理の条件を満たしているので，
Fourier級数($\dsize\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N$としたもの)
は各点収束している．

(3) $f(x)$は$L^2$なので，もちろんFourier級数は$f(x)$に$L^2$-収
束している．

(4) Fourier級数が，$f(x)$に一様絶対収束していれば
$f(x)$は連続になるはずだが，そうなっていないので
一様絶対収束していない．

\bigskip [3]
いろいろ方法はあるがたとえば，授業でやった$[-\pi,\pi]$での
$x^2$のFourier級数展開
$$x^2=\frac{\pi^2}{3}+2\sum_{n\neq0} \frac{(-1)^n}{n^2}e^{inx}$$
の両辺の$L^2$-normを比べると，
$$\dfrac{2\pi^5}{5}=\dfrac{2\pi^5}{9}+16\pi\sum_{n=1}^\infty
\dfrac{1}{n^4}$$となって，答え$\pi^4/90$を得る．

\bye