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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
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\centerline{解析学特別演習II・小テスト(4)}
\rightline{1999年11月16日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．自分のノートを参照して結構です．

\bigskip [1]
$$f(x)=\frac{1}{1+x^2},\quad x\in\R$$
としたとき，$(f*f)(x)$を求めよ．

\bigskip [2]
$[-\pi,\pi]$上の関数$f(x)$を次のように定める．
この時次の問いに答えよ．
$$f(x)=\cases 1,&\text{$0 < x < \pi$の時，}\\
-1,&\text{$-\pi < x < 0$の時，}\\
0,&\text{$x=0,\pm\pi$の時．}\endcases$$

(1) $f(x)$をFourier級数に展開せよ．

(2) (1)の級数は，$f(x)$に各点収束しているか．簡単な理由をつけて答えよ．

(3) (1)の級数は，$f(x)$に$L^2$-収束しているか．簡単な理由をつけて答えよ．

(4) (1)の級数は，$f(x)$に一様絶対収束しているか．簡単な理由をつけて答えよ．

\bigskip [3]
$\dsize\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}$
を求めよ．(授業でやったのとは異なる方法でもかまわないが，
きちんと根拠を示すこと．)

\bye