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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト(2)}
\rightline{1999年10月19日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください.学生証番号,氏名を一番上に
書いてください.

\bigskip
[1] $x\in \R$に対し,$f(x)=e^{-|x|}$とおく.
$f*f(x)$を求めよ.

\medskip
[2] 10/12の授業のように,
$f(x)\ge0$, $\supp f\subset \{|x|\le 1\}$, $\dsize\int_{\R^n}
f(x)\;dx=1$となる$f(x)\in C_0^\infty(\R^n)$をとり,
$f_\de(x)=\dfrac{1}{\de^n}f\left(\dfrac{x}{\de}\right)$とおく.
$1\le p < \infty$とするとき,
$g(x)\in L^p(\R^n)$に対して,
$\de\downarrow 0$のとき$\|f_\de * g - g\|_p\to0$を示せ.

\medskip
[3] $1 < p < \infty$, $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$,
$f(x)\in L^p(\R)$, $g(x)\in L^q(\R)$とする.このとき
以下のことを示せ.

(1) $f*g(x)$が各$x\in\R$で定義される.

(2) $\|f*g\|_\infty\le \|f\|_p \|g\|_q$が成り立つ.

(3) $f*g\in C_\infty(\R)$である.


\bigskip
この演習は私の担当と大島先生の担当と隔週ですが,単位については
2人で別々に成績をつけて,そのうちの良い方を正式の成績にする
ということになりました.

\bye