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\centerline{解析学特別演習II・小テスト(1)の解説}
\rightline{1999年10月12日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は，40点，40点，20点です．平均は50点でした．

\bigskip
[1] 普通のステートメントは，

\noindent
「測度空間$(X,\mu)$上の可測関数の列$\{f_n(x)\}$
が，$X$上ほとんどいたる所$f(x)$に収束しているとする．
$X$上の可積分関数$g(x)$で，各$n$について
$$|f_n(x)|\le g(x), \quad \text{a.e.\ }$$
となるものが存在すれば
$$\lim_{n\to\infty}\int_X f_n(x)\;dx=
\int_X f(x)\;dx$$
が成り立つ．」

\noindent
という形です．「ほとんどいたる所」を書いてない人が
結構いましたが，まあこれはたいしたことはありません．
$\lim_{n\to\infty}f_n(x)$が(ほとんどいたる所)
存在する，というのはきちんと仮定すべきことですが，
書き忘れている人がけっこういました．
しかし，最大のポイントは
「$f_n(x)$が一律に可積分関数$g(x)$で押さえられる」という仮定
で，「可測関数$g(x)$」などとしているのは重大な誤りです．
この点に関し，ほぼまともに書けている人は
37人中，22人でした．

この定理はLebesgue積分論で最も重要な定理です．数学科に
来てLebesgue積分論を習ったからには，この定理だけは
忘れないで卒業してもらいたいと思います．
またこの授業でも，この定理は繰り返し繰り返し使います．
忘れていた人は，
必ず復習しておいてください．この定理(と，単調収束定理，
Fubiniの定理など)がわかっていなければこの授業はわかりません．

\bigskip [2]
これは，いろいろな書き方がありますが，
素朴な形は

\noindent
「$\Omega$は複素平面の有界領域で，その境界$C$は，
共通点を持たない有限個の区分的に滑らかなJordan閉曲線
からなるとする．この時，$\Omega$で正則で
$\Omega$の閉包で連続な関数$f(z)$に対し，
$\dsize\int_C f(z)\;dz=0$が成り立つ．」

\noindent
といった形で，「現代的」な形としては

\noindent
「$f(z)$は領域$\Omega$で正則な関数とする．
$\Omega$内で0にホモローグなサイクル$\gamma$に対し，
$\dsize\int_\gamma f(z)\;dz=0$が成り立つ．」

\noindent
などもあります．内容の小さな違いはいろいろありますが，
別にどれでもかまいません．

線積分を考えるため，曲線は「長さを持つ」ものに
制限するか，または仮定を強めて「区分的に滑らか」
とする必要がありますが，それは今
特に聞きたかったことではありません．
ポイントは，
「$f(z)$は領域$\Omega$で正則な関数，
$\gamma$を$\Omega$内の(長さを持つ)閉曲線とすると，
$\dsize\int_\gamma f(z)\;dz=0$」というような
書き方ではダメであるということです．閉曲線の
「内側」まで正則であることを(数学的に厳密な形で)
仮定する必要があります．こういうことがきちんと書けない
ようでは困ります．
この点に関し，ほぼまともに書けている人は
37人中，21人でした．

Cauchyの積分公式と間違えている人も結構いましたが，
それは本質的に同じ種類のことで，上と同様の
注意があてはまります．

\bigskip
[3] 
・$f(x)\in C_0(\R)$なら一様収束(あるいはLebesgueの
収束定理)ですぐわかる．

・$C_0(\R)$は$L^1(\R)$でdenseなので，一般の場合も
上の場合に帰着する．

\noindent
というのでできます．できはよくありませんでした．直接
Lebesgueの収束定理に持ちこもうとしていた人がたくさんいましたが
それではできません．

\bye