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\define\R{\bold R}
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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説(5)}
\rightline{1999年12月14日 河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
配点は[1]から順に40, 30, 30点です．
平均は48.3点，最高は90点でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip
[1] Test function $\varphi$を一つとめて考えれば，
そのsupportはcompact集合なので，すぐに結論が出る．

\bigskip [2]
まず，$\log|x|$は局所可積分だから${\Cal D}'(\R)$の元
と見なせる．

次に微分の方は，定義どおり書いたものの積分区間を
$(-\infty,-\e)$と$(\e,\infty)$に分けてそれぞれ
部分積分してから$\e\to 0+$とすれば，
答えはp.v. $\dfrac{1}{x}$であることがわかる．

\bigskip [3]
まず，$\varphi(x)\in{\Cal D}(\R)$に対して，
$$\align
&\langle e^{inx}\hbox{p.v.}\dfrac{1}{x},\varphi\rangle \\
=&
\int_{|x|\ge 1} \dfrac{e^{inx}\varphi(x)}{x}\;dx+
\int_{|x|\le 1} \dfrac{e^{inx}\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\;dx\\
=&\int_{|x|\ge 1} \dfrac{e^{inx}\varphi(x)}{x}\;dx+
\int_{|x|\le 1} \dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}e^{inx}\;dx
+\int_{|x|\le 1} \varphi(0)\dfrac{e^{inx}-1}{x}\;dx
\endalign$$
である．ここで$n\to\infty$とすると，Riemann-Lebesgueの定理より，
第1項，第2項は0に収束する．一方第3項は
$$i\varphi(0)\int_{-1}^1 \dfrac{\sin nx}{x}\;dx=
i\varphi(0)\int_{-n}^n \dfrac{\sin x}{x}\;dx\to\pi i \varphi(0)$$
に収束するので答えは，$\pi i\de$である．
\bye