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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
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\centerline{解析学特別演習II・小テスト(5)}
\rightline{1999年12月7日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．自分のノートを参照して結構です．

\bigskip [1]
$\{f_n(x)\}_n$を$\R$上の局所可積分関数の列とする．
すべてのcompact集合$K\subset\R$について，
$$\lim_{n\to\infty}\int_K |f_n(x)|\;dx=0$$
とする．この時，すべての自然数$k$について，
$n\to\infty$の時
$\dfrac{d^k}{dx^k} f_n\to 0$であることを示せ．
ただし，$\dfrac{d^k}{dx^k} f_n$は超関数としての
$k$階微分である．

\bigskip [2]
$\log|x|$は，${\Cal D}'(\R)$の元とみなせることを示し，
その超関数としての微分を求めよ．

\bigskip
[3] $\dsize\lim_{n\to\infty} e^{inx} \text{p.v.} \frac{1}{x}$
を求めよ．(超関数としての極限のことである．)

\bye