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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(4)解答解説}
\medskip
\rightline{2019年11月27日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は各問25点で，平均点は79.1点，最高点は100点(13人)でした．

\bigskip
[1] $e^{-x^2}$ は急減少関数で，この Fourier 変換は $\sqrt\pi e^{-\xi^2/4}$
なので，これを2回微分したものを$-1$倍して，答えは
$\displaystyle 
-\sqrt\pi\left(\frac{\xi^2}{4}-\frac{1}{2}\right)e^{-\xi^2/4}$
です．

\bigskip
[2] $\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$ の Fourier 変換が
$\pi e^{-|\xi|}$ なので，積分記号下の微分により，
$\displaystyle \frac{-2x}{1+x^2}$ の Fourier 変換が
$\pi i\xi e^{-|\xi|}$ となります．これより答えは
$\displaystyle -\frac{\pi i\xi}{2} e^{-|\xi|}$ です．

\bigskip
[3] $f,g$ が急減少関数のときは，
$\widehat{f*g}=\hat f\cdot\hat g$ の証明と同様にして，
$\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^n}\hat f * \hat g$ の
Fourier 逆変換が $fg$ であることがわかります．
さらにこのとき $fg$ も急減少，とくに可積分なので
$\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^n}\hat f * \hat g$
が連続であることと合わせて，$fg$ の Fourier 変換は
$\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^n}\hat f * \hat g$ に等しい
ことがわかります．

次に $f,g\in L^2({\mathbb{R}^n})$ とすると，
急減少関数 $f_k,g_k$ で，$k\to\infty$ のとき
$\|f_k-f\|_2\to0$, $\|g_k-g\|_2\to0$ となるものが
取れます．このとき
\[
\|fg-f_kg_k\|_1\le\|(f-f_k)g\|_1+\|f_k(g-g_k)\|_1
\le\|f-f_k\|_2 \|g\|_2+\|f_k\|_2 \|g-g_k\|_2\to0
\]
より，$f_kg_k$ の Fourier 変換は
$fg$ の Fourier 変換に一様収束します．
また $k\to\infty$ のとき
$\|\hat f_k-\hat f\|_2\to0$, $\|\hat g_k-\hat g\|_2\to 0$
なので，
\[
|\hat f*\hat g(\xi)-\hat f_k*\hat g_k(\xi)|\le
|(\hat f-\hat f_k)*\hat g(\xi)|+
|\hat f_k*(\hat g-\hat g_k)(\xi)|\le
\|\hat f-\hat f_k\|_2 \|\hat g\|_2+
\|\hat f_k\|_2 \|\hat g-\hat g_k\|_2\to0
\]
となります．
これより結論を得ます．

\bigskip
[4]  $\displaystyle \frac{1}{2}\chi_{[-1,1]}(x)$ の Fourier
変換は $f(\xi)=\displaystyle \frac{\sin \xi}{\xi}$ です．
($\xi=0$ ではこの値は$1$と解釈します．) [3]の結果より，
$\displaystyle \frac{1}{4}\chi_{[-1,1]}(x)$ の Fourier
変換は $\displaystyle \frac{1}{2\pi}f*f(\xi)$ です．
これより，$f*f(x)=\pi\displaystyle \frac{\sin x}{x}$
となります．
\end{document}