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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(4)}
\medskip
\rightline{2019年10月30日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
(ノートをデジタル的にとっている人については，
プリントアウトの持ち込みを認めます．)
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 次の値を求めよ．ただし $\xi$ は実数である．
\[
\int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-x^2} e^{-ix\xi}\;dx.
\]

\bigskip
[2] 次の値を求めよ．ただし $\xi$ は実数である．
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{x}{(1+x^2)^2}e^{-ix\xi}\;dx.
\]

\bigskip
[3] $f, g\in L^2({\mathbb{R}^n})$に対し，
\[
f*g(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)\;dy
\]
と定義する．$fg\in L^1({\mathbb{R}^n})$ の Fourier 変換は
$\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^n}\hat f * \hat g$ に等しい
ことを示せ．

\bigskip
[4] $x\in\mathbb R$に対し，$f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ とおく．
[3]の意味での $f*f(x)$ を求めよ．

\end{document}