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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(2)解答解説}
\medskip
\rightline{2019年11月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は各問25点で，平均点は64.6点，最高点は100点(4人)でした．

\bigskip
[1] $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ の Fourier 変換が
$\pi \chi_{[-1,1]}(\xi)$,
$\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$ の Fourier 変換が
$\pi e^{-|\xi|}$ なので，Plancherel の定理により，問題の積分の
値は
\[
\frac{\pi^2}{2\pi}\int_{-1}^1 e^{-|\xi|}\;d\xi=
\pi\int_0^1 e^{-\xi}\;d\xi=\pi(1-e^{-1})
\]
となります．

\bigskip
[2]
$\chi_{[-1,1]}(x)$ の Fourier 変換が  $\displaystyle\frac{2\sin \xi}{\xi}$,
$\chi_{[-2,2]}(x)$ の Fourier 変換が  $\displaystyle\frac{2\sin 2\xi}{\xi}$
なので，$\chi_{[-1,1]}*\chi_{[-2,2]}(x)$ の Fourier 変換が
$\displaystyle\frac{4\sin 2\xi \sin\xi}{\xi^2}$ となります．
これは $L^1$関数なので，この Fourier 逆変換が
$\chi_{[-1,1]}*\chi_{[-2,2]}(x)$ にほとんどいたるところ一致します．
$x$ と $\xi$ を入れ替えて，
$\displaystyle\frac{\sin 2x \sin x}{x^2}$ の Fourier 変換が
$\displaystyle\frac{\pi}{2}\chi_{[-1,1]}*\chi_{[-2,2]}(\xi)$
にほとんどいたるところ一致します．これを計算すると，
\[
\begin{cases}
0,&|\xi|\ge3,\\
\displaystyle\frac{\pi}{2}(\xi+3),&-3\le \xi \le -1,\\
\pi&-1\le \xi \le 1,\\
\displaystyle\frac{-\pi}{2}(\xi-3),&1\le \xi \le 3,\\
\end{cases}
\]
となります．これは連続関数であり，また
$\displaystyle\frac{\sin 2x \sin x}{x^2}$ は可積分関数なので，その
Fourier 変換も連続関数となります．よって「ほとんどいたるところ一致」
から「すべての点で一致」が従うので，上の式が答えです．

\bigskip
[3] ${\mathbb R}$上の急減少関数の列 $\{g_n\}_n$ で，
$\|g-g_n\|_2\to 0$ $(n\to\infty)$ となるものを取ります．
このとき，$\|f*g-f*g_n\|_2\le \|f\|_1 \|g-g_n\|_2\to 0$
$(n\to\infty)$ です．よって，Plancherel の定理より，
$\|\widehat{f*g}-\widehat{f*g_n}\|_2\to 0$
$(n\to\infty)$ ですが，$f,g_n\in L^1({\mathbb R})$ なので，
$\widehat{f*g_n}=\hat f\cdot\hat g_n$ です．
やはり Plancherel の定理により，$\|\hat g-\hat g_n\|_2\to 0$
$(n\to\infty)$ であり，$\|\hat f\|_\infty<\infty$ なので，
$\|\hat f\cdot\hat g-\hat f\cdot\hat g_n\|_2\to 0$
$(n\to\infty)$ です．これにより，
$\widehat{f*g}$ と $\hat f \cdot\hat g$
とが $L^2$ 関数として一致し，結論を得ます．

\bigskip
[4]
\[
f(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{\sqrt x},&0 < x < 1,\\
0,&x\le 0, x\ge 1
\end{cases}
\]
とおきます．これが可積分であることは簡単にわかります．
$x < 0$ のときは $f*f(x)=0$ であることがすぐにわかります．
一方 $0 < x < 1$ のときは，
\[
f*f(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{t(x-t)}}=
\int_{-x/2}^{x/2} \frac{dt}{\sqrt{x^2/4-t^2}}=
2\int_0^{\pi/2}\frac{x}{2}\cos\theta\frac{2d\theta}{x\cos\theta}
=\pi
\]
となります．よって $f*f$ とほとんどいたるところ一致する連続
関数を取ることはできません．

\end{document}