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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(2)}
\medskip
\rightline{2019年10月23日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください.

自筆ノート持ち込み可で行います.本,コピー等は不可です.
(ノートをデジタル的にとっている人については,
プリントアウトの持ち込みを認めます.)
計算用紙はありません.自分のノート等を使ってください.
電子機器の使用は不可です.

途中の計算,説明などをきちんと書いてください.
答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください.

\bigskip
[1] 次の積分の値を求めよ.
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x(1+x^2)}\;dx.
\]

\bigskip
[2] 次の値を求めよ.ただし $\xi$ は実数である.
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin 2x \sin x}{x^2}e^{-ix\xi}\;dx.
\]

\bigskip
[3] $f\in L^1({\mathbb{R}^n})$, $g\in L^2({\mathbb{R}^n})$ のとき,
$f*g$ の Fourier 変換は $\hat f(\xi)\hat g(\xi)$ にほとんどいたるところ
等しいことを示せ.

\bigskip
[4] 次の2条件を満たす $\mathbb R$ 上の関数 $f(x)$ の例を挙げよ.

(1) $f\in L^1({\mathbb R})$.

(2) $f*f(x)=g(x)$ a.e. となる $\mathbb R$ 上の連続関数 $g(x)$
は存在しない.

\end{document}