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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(1)解答解説}
\medskip
\rightline{2019年10月16日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は各問25点で，平均点は27.8点，最高点は100点(1人)でした．

\bigskip
[1] 授業でやった通り，$\chi_{[-1,1]}$ の Fourier 変換が
$\displaystyle\frac{2\sin\xi}{\xi}$ なので，
$\chi_{[-1,1]}*\chi_{[-1,1]}$ の Fourier 変換が
$\displaystyle\frac{4\sin^2\xi}{\xi^2}$ となります．
これを Fourier 逆変換して文字を変えることにより，
$\displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}$ の Fourier 変換
が次の関数であることが分かります．
\[
f(\xi)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\pi }{2}(\xi+2),&-2\le \xi \le 0,\\
-\displaystyle\frac{\pi }{2}(\xi-2),&0\le \xi \le 2,\\
0,&|\xi|\ge2.
\end{cases}
\]
問題で $\sin x$ 一つ分を $\displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
と書き換えることにより，答えは
$\displaystyle\frac{f(\xi-1)-f(\xi+1)}{2i}$ であることがわかります．
これより答えは次のようになります．
\[
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\pi i}{4}(\xi+3),&-3\le \xi \le -1,\\
\displaystyle\frac{-\pi i}{2}\xi,&-1\le \xi \le 1,\\
\displaystyle\frac{\pi i}{4}(\xi-3),&1\le \xi \le 3,\\
0,&|\xi|\ge3.
\end{cases}
\]

留数計算で求めることも可能ですがもっとめんどうです．
またあとで教える超関数の
Fourier 変換を使えば $\sin^3 x$ の Fourier 変換が求まるので，
もっと簡単にできます．

\bigskip
[2] $h(x)=\max(1-|x|,0)$ とおきます．
$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty h(n^2(x-n))$ とおくと，
これは連続で，単調収束定理より
\[
\int_{-\infty}^\infty f(x)\;dx=
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} < \infty
\]
なので可積分でもあります．もし $\hat f$ が可積分であったと
したら，Fourier 反転公式と Riemann-Lebesgue の定理により，
$f$ とほとんどいたるところ一致する連続関数 $g$ で，
$\lim_{x\to\infty} g(x)=0$ となるものが存在しなくては
いけません．$f,g$ の連続性より，すべての $x$ について
$f(x)=g(x)$ でなくてはなりませんが，これは不可能です．

\bigskip
[3]
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{d}{dx} f(x-y)g(y)\;dy
\]
において，$\displaystyle\frac{d}{dx} f(x-y)$
は有界，$g(y)$ は $y$ の可積分関数です．よって積分記号下での
微分が許され，上記積分は
$\displaystyle \frac{d}{dx}(f*g)(x)$ に
等しくなります．これが何度でも繰り返せるので，自然数 $k$ に対し，
\[
\frac{d^k}{dx^k}(f*g)(x)=
\int_{-\infty}^\infty \frac{d^kf}{dx^k}(x-y)g(y)\;dy
\]
となります．
$\displaystyle|x|^m |\frac{d^k}{dx^k} (f*g)(x)|$ を評価するため，
$|x|\le |x-y|+|y|$ として二項展開すると，
\[
\int_{-\infty}^\infty |x-y|^l |\frac{d^kf}{dx^k}(x-y)|
|y|^{m-l} |g(y)|\;dy
\]
の形の項の有限和($l=0,1,\dots,m$)が出てきます．
この積分において，
$\displaystyle|x-y|^l |\frac{d^kf}{dx^k}(x-y)|$は有界で，
$|y|^{m-l} |g(y)|$ は $y$ の可積分関数であることが
容易にわかるので，上の積分は有界となります．これで
$f*g\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ がわかりました．

あるいは，Fourier 変換することにより，
$f, g\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ならば
$fg\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ であることを示してもできます．
この方が少し簡単です．

\bigskip
[4] 正しくありません．
$f(x)=e^{-x^2}$, $g(x)=1/(1+x^2)$ とおくと，
$f*g$ の Fourier 変換は $\pi^{3/2} e^{-\xi^2/4} e^{-|\xi|}$
となり，これは $\xi=0$ で微分可能ではないので反例となります．

\end{document}