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\begin{document}
\centerline{2019年度解析学VI期末テスト解答解説}
\medskip
\rightline{2020年2月5日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は，[1] 15点，[2] 15点，[3] 15点，
[4] 15点，[5] 10点，[6] (1) 5点，(2) 5点，(3) 10点，[7] 10点です．
100点満点で平均点は55.1点，最高点は95点(1人)でした．
得点分布は以下の通りです．

\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
0--9 &10--19 & 20--29 & 30--39 & 40--49 & 50--59 & 60--69 & 70--79 
& 80--89 & 90--99 & 100 & 合計 \\ \hline
0(人) & 1 & 3 & 2 &  4 & 10 & 2  & 2 & 3 & 3 & 0 & 30 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

この得点と成績が赤字で書いてあります．成績は90点以上がA+(優上，3人), 
70点以上がA(優，5人), 55点以上がB(良，6人), 35点以上がC(可，12人), 
それ未満がD(不可，4人)です．
ただし演習の成績が特に良かった人は，
これより良い成績がついています．

演習の成績(悪い1回分を除いた平均)は，平均点は64.1点，最高点は99点
(1人)でした．得点分布は以下の通りです．

\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
0--9 &10--19 & 20--29 & 30--39 & 40--49 & 50--59 & 60--69 & 70--79 
& 80--89 & 90--99 & 100 & 合計 \\ \hline
0(人) & 2 & 0 & 1  & 6  & 1 &  6 & 6 & 5 & 3 & 0 & 30 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

こちらの成績が青字で書いてあります．成績は90点以上がA+(3人), 
80点以上がA(5人), 
65点以上がB(9人), 50点以上がC(4人), それ未満がD(8人)です．
ただし期末試験の成績が特に良かった人は，
これより良い成績がついています．

\bigskip
[1] $\hat f(\xi)=\pi e^{-|\xi|}$,
$\hat g(\xi)=\pi \chi_{[-1,1]}(\xi)$ なので，
$\widehat{f*g}(\xi)=\pi^2 \chi_{[-1,1]}(\xi)e^{-|\xi|}$ です．
これを Fourier 逆変換することにより答えは
\[
\frac{\pi}{2}\int_0^1 e^{(ix-1)\xi}\;d\xi+
\frac{\pi}{2}\int_{-1}^0 e^{(ix+1)\xi}\;d\xi=
\frac{\pi}{1+x^2}\left(1+\frac{x\sin x-\cos x}{e}\right)
\]
です．(なおここからわかることは，$f*g(x)$ がほとんどいたるところ
これに等しいということで，これでO.K.にしましたが，実際は
$f*g$ が連続であることが Lebesgue の収束定理を用いて
簡単に示せるので，すべての $x$ でこれが正しい答えです．)

\bigskip
[2] $\displaystyle\frac{i}{4}(\chi_{[0,\pi]}(x)-\chi_{[\pi,2\pi]}(x))$
の Fourier 係数を計算すると，問題のようになることが容易にわかるので
これが答えです．

なお「Fourier係数」をこれと $2\pi$ だけ違うものと解釈している人も
いましたが，それでもO.K.にしてあります．

\bigskip
[3] 問題の書き方があいまいでしたが，問題の意味は「$f(x)$ は
$(0,2\pi)$ 上の $C^\infty$級関数とほとんどいたるところ一致する」
という意味です．

Fourier 逆変換公式により，$f(x)$ は $[0,2\pi]$上でほとんどいたるところ
$\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sum_{n\in{\mathbb{Z}}} a_n e^{inx}$
と一致します．この式の値をあらためて $f(x)$ とおきます．
この式を $\mathbb Z$ 上で各点の測度が$1$という測度による
積分と思うと，仮定より積分記号下での微分が何回でもできて，
$f^{(k)}(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}
\sum_{n\in{\mathbb{Z}}} a_n(in)^k e^{inx}$ となります．
よって，$f$ は $C^\infty$級関数となります．

\bigskip
[4] $\chi_{[-n/2,n/2]}(x)$ の Fourier 変換が
$\displaystyle 2\frac{\sin\displaystyle\frac{n}{2}\xi}{\xi}$ であることより，
$\chi_{[-n/2,n/2]}*\chi_{[-n/2,n/2]}(x)$ の Fourier 変換が
$\displaystyle 4\frac{\sin^2\displaystyle\frac{n}{2}\xi}{\xi^2}=
\frac{2}{\xi^2}(1-\cos n\xi)$ となります．Fourier 逆変換する
ことにより，
$\hat f_n(\xi)=\pi\max\left(1-\displaystyle\frac{|\xi|}{n},0\right)$
となります．これは $n\to\infty$ のとき，
$\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ において $\pi$ に収束するので，
Fourier 逆変換により．$n\to\infty$ のとき，$f_n$ は
$\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ において $\pi\delta$ に収束します．
したがって，$\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ においてもこれが答えです．

\bigskip
[5] すべての $k\ge 0$ に対し $f^{(k)}(0)=0$ となっていれば，
「$T\in{\mathcal{D}}'({\mathbb{R}})$,
$\mathrm{supp}\; T=\{0\}$ ならば$fT=0$」が成立します．
よって $f(x)=\exp(-1/x^2)$ (ただし $f(0)=0$) とすれば
問題の条件を満たします．

\bigskip
[6] (1), (2) 
部分積分により，定義式の右辺の極限を取る前の式は
\[
\frac{\varphi(\varepsilon)+\varphi(-\varepsilon)-2\varphi(0)}
{\varepsilon}+\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{\varphi'(x)}{x}\;dx+
\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{\varphi'(x)}{x}\;dx
\]
に等しくなっています．ここで $\varepsilon\to0+$ とすると，
第1項は$\varphi'(0)-\varphi'(0)=0$ に収束し，第2, 3項の和は
$\langle \mathrm{p.v.}\displaystyle\frac{1}{x},\varphi'\rangle
=\langle -\left(\mathrm{p.v.}\displaystyle\frac{1}{x}\right)',
\varphi\rangle$
に収束します．このことから
$T=-\left(\mathrm{p.v.}\displaystyle\frac{1}{x}\right)'$
がわかります．$\mathrm{p.v.}\displaystyle\frac{1}{x}$
は緩増加超関数だったので，$T$ も緩増加超関数です．

(3) $\mathrm{p.v.}\displaystyle\frac{1}{x}$ の Fourier 変換が
$-\pi i \mathrm{sgn}(\xi)$ だったことより，答えは $-\pi|\xi|$ です．

\bigskip
[7] $f*g$ の Fourier 変換は
$\hat f(\xi)\hat g(\xi)$ なので，
これに $(1+\xi^2)^{(m+s)/2}$ をかけたものは
$(1+\xi^2)^{m/2}\hat f(\xi)(1+\xi^2)^{s/2}\hat g(\xi)$ となります．
ここで $f\in W^{m,1}(\mathbb{R})$ より，
$\hat f(\xi)$, $\xi^m\hat f(\xi)$ は共に，可積分関数の
Fourier変換として有界なので，$(1+\xi^2)^{m/2}\hat f(\xi)$ も有界です．
また $g\in H^s(\mathbb{R})$ より
$(1+\xi^2)^{s/2}\hat g(\xi)$ は $L^2$関数なので，合わせて
$(1+\xi^2)^{m/2}\hat f(\xi)(1+\xi^2)^{s/2}\hat g(\xi)$ 
は $L^2$関数です．これより結論を得ます．
\end{document}