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\begin{document}
\centerline{2019年度解析学VI期末テスト}
\medskip
\rightline{2020年1月15日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

\centerline{\underline{\bf 問題用紙は2枚あります．}}

\bigskip
解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
(ノートをデジタル的にとっている人については，
プリントアウトの持ち込みを認めます．)
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙に収まるように書いてください．
答案用紙の裏面を使用してもかまいませんが，その場合は表面の
一番下に「裏面使用」と書いてください．

\bigskip
[1] 実数 $x$ に対し，
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$,
$g(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ とおく．
($g(0)=1$と定める．)
このとき $f*g(x)$ を求めよ．

\bigskip
[2] 以下のように $a_n$ ($n\in{\mathbb{Z}})$ を定める．
\[
a_n=\begin{cases}
0,&n\hbox{が偶数の時},\\
\displaystyle\frac{1}{n},&n\hbox{が奇数の時}.
\end{cases}
\]

これを Fourier 係数に持つような $[0,2\pi]$ 上の関数 $f(x)$ を求めよ．

\bigskip
[3] $f(x)$ を $(0,2\pi)$ 上の Lebesgue 可積分関数とし，その
Fourier 係数を $a_n$ ($n\in{\mathbb{Z}}$) とする．
任意の自然数 $k$ について $\displaystyle\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}
|n|^k |a_n| < \infty$ であれば，$f(x)$ は
$(0,2\pi)$ 上 $C^\infty$級であることを示せ．

\bigskip
[4] 自然数 $n$, 実数 $x\neq0$ に対し，
$f_n(x)=(1-\cos nx)/(nx^2)$ とおき，$f_n(0)=0$ とする．
$f_n$ を超関数と思って
$n\to\infty$ とした極限の超関数を求めよ．

\bigskip
[5] 次の条件を満たす $f\in C^\infty({\mathbb{R}})$ で，
$x\neq0$ の時いつでも $f(x)\neq0$ となるものの例を挙げよ．

$T\in{\mathcal{D}}'({\mathbb{R}})$,
$\mathrm{supp}\; T=\{0\}$ ならば
$fT=0$.

\bigskip
[6] $\varphi\in{\mathcal D}({\mathbb{R}})$ に対し，
\[
\langle T, \varphi\rangle=
\lim_{\varepsilon\to0+}
\left(\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x^2}\;dx+
\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{\varphi(x)}{x^2}\;dx-
\frac{2\varphi(0)}{\varepsilon}\right)
\]
とおく．この時次の問いに答えよ．

(1) $T$ が超関数であることを示せ．

(2) $T$ が緩増加超関数であることを示せ．

(3) $T$ の Fourier 変換を求めよ．

\bigskip
[7] $m$ を自然数とし，$s \ge 0$ とする．
$f\in W^{m,1}({\mathbb{R}})$,
$g\in H^s({\mathbb{R}})$ ならば
$f*g \in H^{s+m}({\mathbb{R}})$ であることを示せ．

\end{document}