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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(7)解答解説}
\medskip
\rightline{2020年1月14日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は各問25点で，平均点は61.5点，最高点は100点(3人)でした．

\bigskip
[1] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$ とおけば
$\hat f(\xi)=\pi e^{-|\xi|}$ なので，
$f\in \displaystyle \bigcap_{s\ge 0}H^s({\mathbb R})$ ですが，
これは急減少ではありません．

\bigskip
[2] $T$ を Fourier 変換すると
$\displaystyle \sum_{j=0}^n a_j (i\xi)^j$
となります．
そこで $a_j\neq0$ となる $j$ があるときは，
そのような $j$ で最大のものを $k$ とおいて，
$s$ の範囲は $s < -k-1/2$ です．そのような $j$ が
ないときは $T=0$ なので $s$ の範囲はすべてです．

\bigskip
[3] まず
\[
g(\xi)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{\xi^{3/2}\log\xi},&\xi \ge 2,\\
0,&\xi < 2.
\end{cases}
\]
とおくと，これは $L^2$ 関数です．これを Fourier
逆変換したものを $f(x)$ とおけば条件を満たしています．

\bigskip
[4] $f\in H^1({\mathbb R})$ に対し，
\[
\hat f(\xi)=(1+\xi^2)^{-1/2}(1+\xi^2)^{1/2}\hat f(\xi)
\]
と書けば，
\[
\|f\|_\infty\le\frac{1}{2\pi} \|\hat f\|_1
\le \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \|(1+\xi^2)^{-1/2}\|_2 \|f\|_{H^1}
\]
であり，$\|(1+\xi^2)^{-1/2}\|_2=\sqrt\pi$ なので，
$C$ として $\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ が取れます．

一方，$f(x)=e^{-|x|}$ とすれば，$\hat f(\xi)=
\displaystyle\frac{2}{1+\xi^2}$ であり，$f\in H^1({\mathbb R})$
がわかります．このとき，$\|f\|_\infty=1$, $\|f\|_{H^1}=\sqrt2$
となるので，$C$ の最小値は
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ 以上です．これらを合わせて
$C$ の最小値は
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ です．

\end{document}