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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(6)解答解説}
\medskip
\rightline{2020年1月8日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は各問25点で，平均点は43.2点，最高点は100点(1人)でした．

\bigskip
[1] まず左辺は
\[
\int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} 
f(x)e^{-ix\xi}g(\xi)\;dx\;d\xi
\]
ですが，被積分関数に絶対値を付けて2回積分すると
$\|f\|_1\|g\|_1$ となって有限なので，Fubini の定理が使えて
積分の順序交換ができます．すると右辺が得られます．

\bigskip
[2] まず，$f$ を $L^1$ 関数と思って Fourier 変換して
得られる連続関数を超関数と思ったものと，
$f$ を緩増加超関数と思って Fourier 変換したものは
同じです．前者が $L^2$ 関数という仮定なので，
後者も $L^2$ 関数を緩増加超関数と思ったものです．
緩増加超関数の Fourier 変換の一般論より，後者
を Fourier 逆変換したものは $f$ (を緩増加超関数と
思ったもの)です．一方，後者は $L^2$ 関数を緩増加超関数
と思ったものなので，その Fourier 逆変換は
$L^2$ 関数(を緩増加超関数と思ったもの)です．したがって
$f$ はある $L^2$ 関数と，超関数として一致するので，
$f$ 自身が $L^2$ 関数になります．

\bigskip
[3] (1) まず $f$ は局所可積分なので超関数と思えます．
$\varphi\in{\mathcal{D}}({\mathbb{R}})$ に対し，
\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^\infty |f(x)\varphi(x)|\;dx&\le&
2p_2(\varphi)\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}
\int_{2n\pi}^{(2n+2)\pi}\frac{|f(x)|}{1+x^2}\;dx\\
&\le&
4p_2(\varphi)\sum_{n=0}^\infty
\frac{1}{1+4n^2\pi^2}\int_0^{2\pi} |f(x)|\;dx
\end{eqnarray*}
なので $f$ が緩増加超関数になることがわかります．

(2) $\varphi\in{\mathcal{D}}({\mathbb{R}})$ に対し，
\begin{eqnarray*}
\langle f,\hat\varphi\rangle &=&
\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\int_{2n\pi}^{(2n+2)\pi}
f(x)\hat\varphi(x)\;dx\\
&=&\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\int_0^{2\pi}
f(x)\hat\varphi(x+2n\pi)\;dx
\end{eqnarray*}
ですが，Poisson の和公式(の証明)から
\[
\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\hat\varphi(x+2n\pi)=
\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\varphi(n)e^{-inx}
\]
が，$[0,2\pi]$ 上一様絶対収束の意味で成り立って
います．
このことから最初の等式の最右辺は
\[
\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\varphi(n)
\int_0^{2\pi}
f(x)e^{-inx}\;dx
=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}a_n \varphi(n)
\]
に等しくなります．このことから，答えは
$\displaystyle\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}a_n\delta_n$ です．

\bigskip
[4] (1) $\varphi\in{\mathcal{D}}({\mathbb{R}})$ に対し，
${\mathrm{supp}}\;\varphi\subset[-K,K]$ とすると，
$\displaystyle|n\hat\varphi(n)|\le 2K \sup |\varphi'(x)|$ です．
この評価と，
$\displaystyle\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}|a_n|^2<\infty$
と合わせると
$\displaystyle\frac{1}{2\pi}
\sum_{n\in{\mathbb{Z}}} a_n \hat\varphi(-n)$
は収束します．さらにこの評価より，
$\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} 
a_n e^{inx}$ が超関数として収束していることがわかります．

(2) 任意に $\varphi\in{\mathcal{D}}({\mathbb{R}})$ を取り，
${\mathrm{supp}}\;\varphi\subset[-2M\pi,2M\pi]$ となる自然数
$M$ を取ります．
$\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-k}^k 
a_n e^{inx}$ は，$k\to\infty$ のとき，
$[0,2\pi]$ 上で $f(x)$ に $L^2$ 収束するので，
$[-2M\pi,2M\pi]$ 上でも $f(x)$ に $L^2$ 収束します．
$\varphi(x)$ は，$[-2M\pi,2M\pi]$ 上 $L^2$ なので
結論が出ます．

実際は[3] (2)のような論法で，${\mathcal{S}}'({\mathbb{R}})$ で
収束していることも示せます．

\end{document}