\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(6)}
\medskip
\rightline{2019年12月26日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
(ノートをデジタル的にとっている人については，
プリントアウトの持ち込みを認めます．)
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] $f, g\in L^1({\mathbb R}^n)$ とする．
次の等式を示せ．
\[
\int_{{\mathbb R}^n} f(x) \hat g(x)\;dx=
\int_{{\mathbb R}^n} \hat f(\xi)g(\xi)\;d\xi.
\]

\bigskip
[2] $f\in L^1({\mathbb R}^n)$ とする．
$\hat f\in L^2({\mathbb R}^n)$ であれば
$f\in L^2({\mathbb R}^n)$ であることを示せ．

\bigskip
[3] $f(x)$ を $L^1([0,2\pi])$ の元とし，その Fourier 係数
を $a_n$ $(n\in{\mathbb Z})$ とする．$f(x)$ を周期
$2\pi$ の関数になるように，定義域を $[0,2\pi)$ から
$\mathbb R$ に拡張し，これも $f(x)$ と書く．

(1) この $f$ が，$\mathbb R$ 上の緩増加超関数とみなせる
ことを示せ．

(2) この $f$ を $\mathbb R$ 上の緩増加超関数として
Fourier 変換したものを求めよ．

\bigskip
[4] $f(x)$ を $L^2([0,2\pi])$ の元とし，その Fourier 係数
を $a_n$ $(n\in{\mathbb Z})$ とする．$f(x)$ を周期
$2\pi$ の関数になるように，定義域を $[0,2\pi)$ から
$\mathbb R$ に拡張し，これも $f(x)$ と書く．

(1) $\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} 
a_n e^{inx}$ が $\mathbb R$ 上の超関数として収束する
ことを示せ．

(2)(1)の超関数が，$\mathbb R$ 上の $f(x)$ を超関数と
みなしたものと一致することを示せ．

\end{document}