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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(5)解答解説}
\medskip
\rightline{2019年11月27日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は各問25点で，平均点は71.6点，最高点は100点(10人)でした．

\bigskip
[1] $a_0=0$ であり，その他の場合は普通に積分して，
\[
a_n=\begin{cases}
0,&n\hbox{が偶数の時，}\\
\displaystyle\frac{4i}{n},&n\hbox{が奇数の時，}
\end{cases}
\]
となります．

\bigskip
[2] 授業でやった $f(x)=x$, ($x\in [-\pi,\pi]$) の Fourier 級数展開
を $\pi$ だけずらすことにより，答えは
$f(x)=-i(x-\pi)$, $(0\le x < 2\pi)$ です．

\bigskip
[3] $f(x)=\chi_{[-1,1]}$ の Fourier 変換は$\hat f(\xi)=\displaystyle
\frac{2\sin \xi}{\xi}$ です．($\xi=0$の時はこの値は2と解釈します．
この問題において以下同様です．)
これは可積分関数なので，
\[
f*f(x)=\begin{cases}
x+2,&-2\le x \le 0,\\
-x+2,&0\le x \le 2,\\
0,&|x|\ge2,
\end{cases}
\]
であり，この Fourier 変換は $\displaystyle
\frac{4\sin^2 \xi}{\xi^2}$ となります．これについて Poisson の
和公式が使える形になっており，$x\in[-\pi,\pi]$ のとき
$\sum_{n\in{\mathbb Z}} f*f(x+2n\pi)=f*f(x)$ なので，
\[
2\pi\times 2=4\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{\sin^2 n}{n^2}
\]
となります．これより問題の等式を得ます．

\bigskip
[4] $x\in{\mathbb R}$ に対し $f(x)=e^{-|x|}$ とおくと，この
Fourier 変換は $\hat f(\xi)=\displaystyle\frac{2}{1+\xi^2}$
となります．これについて Poisson の和公式の証明を適用する
ことができ，
\[
2\pi\sum_{n\in\mathbb Z} e^{-|x+2n\pi|}=
\sum_{n\in\mathbb Z} \frac{2}{1+n^2} e^{inx}
\]
を得ます．ここで $x=\pi$ とおくことにより，
\[
2\pi \sum_{n\in\mathbb Z} e^{-|\pi+2n\pi|}
=\sum_{n\in\mathbb Z} \frac{2(-1)^n}{1+n^2}
\]
となるので，左辺を無限級数の和の公式で整理することに
より，問題の等式を得ます．

\end{document}