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\begin{document}
\centerline{2019年解析学特別演習IIIテスト(5)}
\medskip
\rightline{2019年11月14日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください.

自筆ノート持ち込み可で行います.本,コピー等は不可です.
(ノートをデジタル的にとっている人については,
プリントアウトの持ち込みを認めます.)
計算用紙はありません.自分のノート等を使ってください.
電子機器の使用は不可です.

途中の計算,説明などをきちんと書いてください.
答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください.

\bigskip
[1] $[0,2\pi]$ 上で定義された次の関数 $f(x)$ の Fourier 係数を求めよ.
\[
f(x)=\begin{cases}
-1,&0\le x \le \pi,\\
1,&\pi < x\le 2\pi.
\end{cases}
\]

\bigskip
[2] $[0,2\pi]$ 上の$L^2$関数で,その Fourier 級数展開が
$\displaystyle\sum_{n\neq0}\frac{e^{inx}}{n}$ ($L^2$収束)となるものを求めよ.

\bigskip
[3] 
\[
\pi=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{\sin^2 n}{n^2}
\]
を示せ.ただし右辺で $n=0$ の時の項は$1$とみなす.

\bigskip
[4] 
\[
\frac{2\pi }{e^\pi-e^{-\pi}}
=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{(-1)^n}{1+n^2}
\]
を示せ.


\end{document}