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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(4)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各25点，
平均点は61点，最高点は85点(3名)でした．

\medskip
[1] $f*f$ の Fourier 変換は $(\hat f(\xi))^2=\pi e^{-\xi^2/2}$
なので，これに Fourier 逆変換を施して
$(f*f)(x)=\displaystyle \frac{\sqrt\pi}{\sqrt2}e^{-x^2/2}$ です．
($f*f$が連続であることは容易に分かるので，これは単に a.e. ではなく，
すべての $x$ で成り立つ等式です．)

直接計算してもそれほどの手間ではありません．

\medskip
[2] $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-ix\xi}\;dx=
\sqrt\pi e^{-\xi^2/4}$ の両辺を $\xi$ で微分すると，授業でやったように
積分記号下での微分ができるので，答えは
$\displaystyle \frac{-\sqrt\pi i\xi}{2}e^{-\xi^2/4}$ です．

あるいは左辺を部分積分しても授業でやったようにできます． 

\medskip
[3] Plancherel の定理によって，求める積分の値は
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \pi\chi_{[-1,1]}(\xi)
\frac{2}{1+\xi^2}\;d\xi=\int_{-1}^1 \frac{d\xi}{1+\xi^2}=
[\arctan \xi]_{-1}^1=\frac{\pi}{2}
\]
となります．

\medskip
[4] $h(x)=\chi_{[-1,1]}(x)|x|^{-2/3}$,
$k(x)=\chi_{[-1,1]}(x)|x|^{-1/3}$ とおきます．
$h\in L^1({\mathbb{R}})$, $k\in L^2({\mathbb{R}})$ です．
($x=0$ での値はどうでもいいのですが，たとえば $0$ としてかまいません．)
有理数全体に番号をつけて $p_1,p_2,p_3,\dots$ とします．
$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n} h(x-p_n)$,
$g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n} h(x-p_n)$ とおきます．
ノルムを見ると，これらはそれぞれ，$L^1({\mathbb{R}})$, $L^2({\mathbb{R}})$
の中で収束していることがわかります．
$x=p_n$ として，一つ自然数 $m$ を固定すると，$p_l=p_n-p_m$ となる $l$
があるので，この $l$ に対し，
$f(p_n-y)\ge \displaystyle\frac{1}{2^l}h(y-p_m)$,
$g(y)\ge \displaystyle\frac{1}{2^m}k(y-p_m)$ となるため，
$f(p_n-y)g(y)\ge\displaystyle\frac{1}{2^(l+m)}
\chi_{[-1,1]}(y-p_m)|y-p_m|^{-1}$ となります．この右辺は $y$ の可積分関数
ではないので，$f(p_n-y)g(y)$ も $y$ の可積分関数ではありません．
\end{document}