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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(3)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

[1]は各問15点，[2], [3]は各20点の配点です．
平均点は57点，最高点は100点(1人)でした．

\medskip
[1] (1) 誤り．$(0,1)$ 区間の有理数に番号を振ったものを
$\{a_n\}_{n=1}^\infty$
とします．
$$E=(0,1)\cap \bigcup_{n=1}^\infty (a_n-\frac{1}{2\cdot3^n},
a_n+\frac{1}{2\cdot3^n})$$
とおくと，
$$\mu (E)\le \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3^n}=\frac{1}{2}$$ となりますが，
もちろん $E$ は開集合であり，すべての有理数を含むので稠密でもあります．
同様にして$E$の測度はいくらでも小さくできます．

多くの人が「正しい」と間違えていました．

(2) 正しい． $E=\{ x\in (0,1)\mid f(x) > 0\}$，
$E_n=\{ x\in (0,1)\mid f(x)\ge 1/n\}$ とおくと，
$$0\le \frac{1}{n}\mu(E_n)\le \int_0^1 f(x)\;dx=0$$ より，
$\mu(E_n)=0$ となります．よって $E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n$ より，
$\mu(E)=0$ もわかります．

(3) 誤り．Cantor 集合を考えます．すなわち，$(0,1)$ 区間内で
3進小数展開したときに，$0,2$ だけしか現れない実数たちの集合を
$E$ とします．(3進小数展開が二通りできる数は可算個しかないので，
以下の議論に気にしなくてかまいません．) これらは，$0,2$ を
可算個並べてできる数たちなので，連続濃度だけあります．しかし，
Lebesgue 測度を考えると，$(0,1)$ 区間から，真ん中の長さ $1/3$ 
の区間を抜いて，次に残りの長さ $1/3$ の $2$区間から，それぞれ
その真ん中の長さ $1/3^2$ の区間を抜いて，さらに，
残りの長さ $1/3^2$ の $4$区間から，それぞれ
その真ん中の長さ $1/3^3$ の区間を抜いて・・・と続けていけば
$E$ との違いはたかだか可算集合です．この集合 $E$ は可測で，
その測度は $2^n/3^n$ で抑えられるので，結局 0 となります．

(4) 誤り．$\chi_{(0,\infty)}-\chi_{(-\infty,0)}$ を考えれば
簡単な反例になります．$(\sin x)/x$ でもできますが，極限の
存在がそれほど自明ではなくなります．

\medskip
[2] $\mu(A)< \infty$ が必要十分条件です．

これが十分条件であることは Cauchy-Schwarz の不等式からわかります．

必要条件であることは次のようにわかります．
$\mu(A)=\infty$ であったとすると，任意に与えられた $k$ に対し，
十分大きな $n$ をとって $[-n,n]\cap A$ を考えることにより，
可測集合 $B\subset A$ で，$k < \mu(B) < \infty$ となるものが
取れます．これを繰り返し使うことにより，互いに disjoint な
可測集合 $A_n$ ($n=1,2,3,\dots$) で，
$A_n \subset A$, $n^2 < \mu(A_n) < \infty$ と
なるものが取れます．
$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\mu(A_n)}\chi_{A_n}$$
とおくと，$\int f(x)\;dx=\sum_{n=1}^\infty 1=\infty$ ですが，
$\int f(x)^2\;dx=\sum_{n=1}^\infty 1/\mu(A_n) < \infty$ となります．

\medskip
[3] 実部と虚部に分けて考えることができるので，最初から
$f(x),g(x)$ は実数値を取ると仮定できます．

$E_k=\{x\in X\mid f(x) - g(x)>1/k \}$ とおくと，
$\displaystyle 0=\int_{E_k}(f-g)\;d\mu\ge\frac{\mu(E_k)}{k}$ となるので
$\mu(E_k)=0$ です．$k$ について和を取ることにより，
$\mu(\{x\in X\mid f(x)-g(x) > 0\})$ がわかります．同様に
$\mu(\{x\in X\mid f(x)-g(x) < 0\})$ もわかるので，$f(x)=g(x)$ a.e. と
なります．

\end{document}