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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(3)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 次のそれぞれの命題は正しいか．正しければ証明し，誤っていれば
反例を挙げよ．きちんと理由も示すこと．

(1) $(0,1)$ 区間の開かつ稠密な集合は Lebesgue 測度 $1$ を持つ．

(2) $(0,1)$ 区間上の Lebesgue 可測可積分関数 $f(x)$ が，
すべての $x\in(0,1)$ に対して $f(x)\ge0$ を満たし，
また，$\displaystyle\int_0^1 f(x)\;dx=0$ を満たせば，ほとんどいたるところ
$f(x)=0$ である．

(3) $(0,1)$ 区間の Lebesgue 可測集合が連続濃度を持てば，
その Lebesgue 測度は正である．

(4) $\mathbf R$ 上の実数値可測関数 $f(x)$ について，
$\displaystyle\int_{-N}^N f(x)\;dx$ が $N\to\infty$ で極限を持てば，
$f(x)$ は $\mathbf R$ 上可積分である．

\bigskip
[2] $\mathbf R$ のLebesgue可測集合 $A$ について
次の性質が成り立つための必要十分条件を求めよ．

$A$ 上の任意の複素数値Lebesgue可測関数 $f(x)$ について，
$\displaystyle\int_A |f(x)|^2\;dx < \infty$ ならば
$\displaystyle\int_A |f(x)|\;dx < \infty$ である．

\bigskip
[3]  測度空間 $(X,\mu)$ 上の複素数値可積分関数 $f(x), g(x)$
を取る．$X$ の任意の可測部分集合 $E$ について
$\displaystyle\int_E f\;d\mu=\int_E g\;d\mu$ であれば，
ほとんどいたるところ $f(x)=g(x)$ であることを示せ．

\end{document}