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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(2)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

各問20点の配点です．平均点は52点、最高点は90点(3人)でした。

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[1] $z=x+iy$ ($x,y$は実数)と書くと，
$|f(t)e^{itz}|\le \|f\|_\infty e^{-ty}$であり，$y>0$だから
$\displaystyle\int_0^\infty e^{-ty}\;dt< \infty$です．
このことより$F(z)$を定める積分は可積分です．

被積分関数を $x$ で偏微分すると $itf(t)e^{itx}e^{-ty}$,
$y$ で偏微分すると $-tf(t)e^{itx}e^{-ty}$です．
前者の絶対値は$x$によらず $\|f\|_\infty te^{-ty}$で
抑えられ，この関数は可積分です．
また後者の絶対値は$y$が開区間$(a,b)$ ($0< a< b$)を動くとき
に$\|f\|_\infty te^{-at}$で抑えられ，この関数は可積分です．
よって Lebesgue の収束定理の系である，積分記号下の微分を
適用することができ，
$\displaystyle i\frac{\partial F(z)}{\partial x}=
\frac{\partial F(z)}{\partial y}$ を得ます．すなわち
$F(z)$ は Cauchy-Riemann方程式を満たします．また被積分関数の
偏微分に関する同様の評価により，再び Lebesgue の収束定理
により，$\displaystyle \frac{\partial F(z)}{\partial x}$
と$\displaystyle \frac{\partial F(z)}{\partial y}$
はともに連続であることがわかります．
すなわち $F(z)$ は $C^1$級です．
以上より，$F(z)$ は正則関数となります．

完全な正解者は1名しかいませんでした．

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[2] 実部と虚部に分けて考えればよいので，最初から$f(x)$は
実数値であるとしてかまいません．$f(x)$が微分不可能な点の集合を$E$と
すれば，仮定により$E$はLebesgue測度0を持ち，特にLebesgue
可測です．$E$以外の点では$f_n(x)=n(f(x+1/n)-f(x))$とおけば
これは Lebesgue 可測関数であり，$E$以外の点$x$ で
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=g(x)$となっているので
Lebesgue可測関数の収束先としてLebesgue可測です．
よって$g(x)$はLebesgue可測関数です．

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[3] 答えの一例は (1) $\chi_{(0, 1]}(x)x^{-1/2}$,
(2) $\chi_{[1, \infty)}(x)x^{-1}$ です．だいたいこのような例が
挙げられていました．

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[4] 有名な留数計算で答えは $\pi$ です．
たとえば Ahlfors の Chapter 4, 5.3 の3に出ています．

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[5] 原点中心，半径 $N$ で上半平面にある半円板の境界上で積分して留数計算
します．$N\to\infty$ としたとき，半円周上の積分は 0 に行き，
$z=i$ での留数から，答えは $\pi/2$ となります．

$x=\tan\theta$ と置換しても初等的にできます．

\end{document}