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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(2)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください.

自筆ノート持ち込み可で行います.本,コピー等は不可です.
計算用紙はありません.自分のノート等を使ってください.
電子機器の使用は不可です.

途中の計算,説明などをきちんと書いてください.
答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください.

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[1] 
$f(t)$を$(0,\infty)$上の複素数値有界Lebesgue可測関数とする.
$H=\{z\in{\mathbf C}\mid {\mathrm{Im}}\; z > 0\}$とおき,$z\in H$の時,
$F(z)=\displaystyle\int_0^\infty f(t)e^{itz}\;dt$とおく.
この積分の値が複素数値で定まり,$F(z)$が$H$上正則となることを示せ.
(使う定理の名前とその定理が使える根拠をはっきりと述べること.)

\bigskip
[2] $f(x)$を$\mathbf R$上の複素数値Lebesgue可測関数で,ほとんどいたるところ
微分可能なものとする.この時,
$$g(x)=\left\{
\begin{array}{ll} 
f'(x),&\hbox{$f(x)$が微分可能なとき,}\\
0,&\hbox{$f(x)$が微分不可能なとき,}
\end{array}\right.$$
と定義すると,$g(x)$は,$\mathbf R$上Lebesgue可測であることを示せ.

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[3] 実軸 $\mathbf R$ 上でLebesgue測度を考える.

(1) $L^1$ だが $L^2$ でない関数の例を挙げよ.

(2) $L^2$ だが $L^1$ でない関数の例を挙げよ.

(いずれも根拠をきちんとと述べること.)

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[4]  次の値を求めよ.

$$\lim_{N\to\infty} \int_{-N}^N \frac{\sin x}{x}\;dx.$$

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[5] 次の値を求めよ.

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx.$$

\end{document}