\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(1)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください.

自筆ノート持ち込み可で行います.本,コピー等は不可です.
計算用紙はありません.自分のノート等を使ってください.
電子機器の使用は不可です.

途中の計算,説明などをきちんと書いてください.
答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください.

\bigskip
[1] 次の各命題のステートメントを書け.

(1) Lebesgue の収束定理

(2) Fatou の補題

(3) 単調収束定理

\bigskip
[2] Cauchy の積分定理ステートメントを書け.
(いろいろなバージョンがあるがどれでもよい.)

\bigskip
[3] $f(x)$を$\mathbf R$上の Lebesgue 可積分関数とする.
実数 $x$ に対し
$g(x)=\displaystyle\int_{x-2}^{x+3} f(t)\;dt$ としたとき,
$g(x)$は連続関数であることを示せ.

\bigskip
[4] つぎのすべての条件を満たすような,$(0,1)$上の Lebesgue
可積分関数の列 $\{f_n(x)\}_n$ の例を一つ挙げよ.
条件を満たしていることをきちんと説明すること.

(1) $\|f_n\|_1\to 0$ ($n\to\infty$).

(2) どの $x\in(0,1)$ についても,数列 $\{f_n(x)\}_n$ は
収束しない.

また,例に挙げた関数列について,どのように部分列
$\{f_{n_k}(x)\}_k$ を取れば次の条件を満たすようにできるか
述べよ.

(3) $x$ についてほとんどいたるところ,
数列 $\{f_{n_k}(x)\}_k$ は $0$ に収束する.

\bigskip
[5] 次の積分の値を求めよ.
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2 x}{1+x^2}\;dx.$$

\end{document}