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\begin{document}
\centerline{2018年度解析学VI期末テスト}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
また，電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙に収まるように書いてください．
答案用紙の裏面を使用してもかまいませんが，その場合は表面の
一番下に「裏面使用」と書いてください．

\bigskip
[1] $1 < p < \infty$, $1/p+1/q=1$ とする．
$f\in L^p({\mathbf R})$, 
$g\in L^q({\mathbf R})$ のとき，
$f*g$ が定義されて連続関数となることを示せ．

\bigskip
[2] 次の級数の和を求めよ．ただし$x$は実数である．
$$
\sum_{n\neq0,n\in{\mathbf Z}} \frac{e^{inx}}{n^2}.$$

\bigskip
[3] 次の積分の値を求めよ．ただし $\xi$ は実数である．
$$
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}e^{-|x|}e^{-ix\xi}\;dx.
$$

\bigskip
[4] ${\mathrm{supp}}\; T\subset\{0,1\}$ となる
$\mathbf R$ 上の超関数 $T$ をすべて求めよ．

\bigskip
[5] $k$ を自然数とする．
$\varphi\in{\mathcal{D}}({\mathbf{R}})$ に対し，
$\langle T,\varphi\rangle=\displaystyle
\sum_{n=1}^\infty n^k \varphi(n)$ とおく．

(1) この $T$ が $\mathbf R$ 上の超関数となることを示せ．

(2) この $T$ が緩増加であることを示せ．

\bigskip
[6] $\mathbf R$ 上の $L^2$ 関数 $f$ であって，
$f\in H^s({\mathbf R})$ となるための必要十分条件が
$0 \le s <2$ であるようなものの例を一つ挙げよ．
根拠をきちんと説明すること．

\end{document}