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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(6)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

\medskip
[1] まず
\[
a_0=\int_0^\pi x\;dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^\pi=\frac{\pi^2}{2}
\]
です.次に $n\neq0$ として,
\begin{align*}
a_n&=\int_0^\pi x e^{-inx}\;dx\\
&=\left[x\frac{e^{-inx}}{-in}\right]_0^\pi+
\frac{1}{in}\int_0^\pi e^{-inx}\;dx\\
&=\frac{\pi(-1)^ni}{n}+\left[\frac{e^{-inx}}{n^2}\right]_0^\pi\\
&=\frac{\pi(-1)^ni}{n}+\frac{(-1)^n-1}{n^2}
\end{align*}
となり,これが答えです.

\medskip
[2]  まず
\[
a_0=\int_0^{2\pi} (x-\pi)^3\;dx=0
\]
です.次に $n\neq0$ として,
\begin{align*}
\int_0^{2\pi}(x-\pi)^3 e^{-inx}\;dx
&=\left[(x-\pi)^3\frac{e^{-inx}}{-in}\right]_0^{2\pi}+
\frac{3}{in}\int_0^{2\pi}(x-\pi)^2e^{-inx}\;dx\\
&=\frac{2\pi^3}{-in}-\frac{6}{n^2}\int_0^{2\pi}(x-\pi)e^{-inx}\;dx\\
&=\frac{2\pi^3i}{n}-
\frac{6}{n^2}\left[(x-\pi)\frac{e^{-inx}}{-in}\right]_0^{2\pi}\\
&=\frac{2\pi^3i}{n}-\frac{12\pi i}{n^3}
\end{align*}
となり,これが答えです.

\medskip
[3] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sum_{m\in\mathbf Z}a_m e^{imx}$,
$g(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sum_{m\in\mathbf Z}b_m e^{imx}$ 
(いずれも $L^2$収束)です.後者より,
$g(x)e^{-inx}=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sum_{m\in\mathbf Z}b_m e^{i(m-n)x}
= \frac{1}{2\pi}\sum_{m\in\mathbf Z}b_{m+n} e^{imx}$なので,
正規直交基底に関する性質より,
$\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)g(x)e^{-inx}\;dx=\frac{1}{2\pi}
\sum_{m\in\mathbf Z}a_m b_{-m+n}$ となります.右辺は絶対収束しています.

\medskip
[4] 仮定より,
$g(x)=\displaystyle \sum_{n\in\mathbf Z} a_n e^{inx}$ 
とおくと,右辺は $L^2$ 収束しており,$g$ は $L^2$ 関数と
なります.この時 $f(x)-g(x)$ は $L^1$ 関数であり,そのすべての
Fourier 係数が0となるので,Fourier 逆変換公式により,
ほとんどいたるところ0となります.よって,$f$ も
$L^2$ 関数となります.

また,次のようにもできます.

授業でやった $P_r(x)=\displaystyle\frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2}$ を
使うと,$(P_r*f)(x)=\displaystyle \sum_{n\in\mathbf Z} a_n r^{|n|}
e^{inx}$ となるのでした.ここで $r\to1-$ とすると,
$\|P_r*f-f\|_1\to0$ になることを授業で示したので,1に収束する
適当な増大列$\{r_k\}_k$ があって,
$(P_{r_k}*f)(x)\to f(x)$ a.e. となります.
一方,$\displaystyle \sum_{n\in\mathbf Z} a_n r^{|n|}
e^{inx}$ は,$L^2$収束しており,ここで $r\to1-$ とすると,
この関数は $L^2$関数
$\displaystyle \sum_{n\in\mathbf Z} a_n e^{inx}$ 
に $L^2$ 収束します.よって,$\{r_k\}_k$ の部分列
について,$\displaystyle \sum_{n\in\mathbf Z} a_n {r_k}^{|n|}
e^{inx}$ が $L^2$関数
$\displaystyle \sum_{n\in\mathbf Z} a_n e^{inx}$ 
に a.e. 収束します.これらのことから,
$f$ は,$L^2$関数
$\displaystyle \sum_{n\in\mathbf Z} a_n e^{inx}$ に
ほとんどいたるところ等しいことがわかり,$f$ は
$L^2$ 関数となります.

\end{document}