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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(6)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 次の関数の Fourier 係数を求めよ．

$$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x,\quad\text{$0\le x < \pi$の時，}\\
0,\quad\text{$\pi\le x \le 2\pi$の時．}
\end{array}
\right.$$

\bigskip
[2] $[0,2\pi]$ 上の関数 $f(x)=(x-\pi)^3$ の Fourier 係数を求めよ．

\bigskip
[3] $f, g\in L^2([0,2\pi])$ とし，$f$, $g$ の Fourier 係数をそれぞれ
$\{a_n\}_{n\in\mathbf Z}$, $\{b_n\}_{n\in\mathbf Z}$ とおく．
$f(x)g(x)$ の Fourier 係数を $a_n, b_n$ を使って表せ．

\bigskip
[4] $f\in L^1([0,2\pi])$ とし，$n\in\mathbf Z$ に対し
$a_n=\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)e^{-inx}\;dx$ とおく．
$\displaystyle\sum_{n\in\mathbf Z}|a_n|^2 < \infty$ であるならば
$f\in L^2([0,2\pi])$ であることを示せ．

\end{document}