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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(5)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各25点，
平均点は60点，最高点は100点(2名)でした．

\medskip
[1] $f_t(x)=f(x-t)$ とおきます．任意に与えられた $\varepsilon > 0$
に対し，$g\in C_0({\mathbf{R}})$ で，$\|f-g\|_p < \varepsilon$ となる
ものが取れます．$g$ については台が有界なことより一様連続となり，
台が有界なことをもう一度使うと，$\delta > 0$ が取れて，
$|t| < \delta $ のとき $\|g-g_t\|_p < \varepsilon$ となります．
$|t| < \delta $ のとき，
\[
\|f-f_t\|_p\le\|f-g\|_p+\|g-g_t\|_p+\|g_t-f_t\|_p\le3\varepsilon
\]
となるので結論を得ます．

授業でやった $p=1$ の場合と全く同じ論法です．

\medskip
[2] 求める関数の Fourier 変換は
$\hat f(\xi)=\pi e^{-|\xi|}$ の $k$ 乗で，
$\pi^k e^{-k|\xi|}$ です．これを逆 Fourier 変換して
$(f*f*\cdots*f)(x)=\displaystyle \frac{k\pi^{k-1}}{x^2+k^2}$
です．(左辺が連続であることは容易にわかるので，これは
「すべての$x$」で正しい式です．)

\medskip
[3] (1) $f(x)e^{-\varepsilon x^2}$ は $L^1$ かつ $L^2$ なので，
$L^1$ 関数として Fourier 変換したもの(すなわち $g_\varepsilon$)と，
$L^2$ 関数として Fourier 変換したもの(自動的に $L^2$ となる)は
ほとんどいたるところ一致します．よって $g_\varepsilon$ は
$L^2$ 関数です．

(2) $f_\varepsilon(x)=f(x)e^{-\varepsilon x^2}$ とおくと，
$|f(x)|^2$ が可積分であることと，Lebesgue の収束定理より，
$\displaystyle \lim_{\varepsilon\to0+}\|f_\varepsilon-f\|_2=0$ 
がわかります．あとは Plancherel の定理によって結論を得ます．

\medskip
[4] 
まず $\xi\le 0$ として，
原点中心で半径$R$, $(R>1)$, 上半平面にちょうど入る半円を積分路として
$\displaystyle \frac{e^{-iz\xi}}{(1+z^2)^2}$ の留数計算を行います．

半円周上では $z=Re^{it}$, $0\le t\le\pi$, とおくと，
$\xi\le 0$ より，
$\displaystyle \left|\frac{e^{-iz\xi}}{(1+z^2)^2}\right|\le
\frac{1}{(R^2-1)^2}$ 
と評価できます．これに積分路の長さ $\pi R$ をかけても
$R\to\infty$ としたときに $0$ に収束するので，半円周上の
積分も $R\to\infty$ としたときに $0$ に収束します．
また，半円の下辺の積分は$R\to\infty$ としたときに求めたい 
Fourier 変換の積分に収束します．
一方，$z=i$ での留数は 
$\displaystyle\frac{i}{4}(-e^\xi+\xi e^\xi)$となるので，
求める積分値は
$\displaystyle\frac{\pi}{2}(e^\xi-\xi e^\xi)$です．

$\xi\ge0$ のときは下半平面に入る半円を使って同様の
計算をすれば，
$\displaystyle\frac{\pi}{2}(e^{-\xi}+\xi e^{-\xi})$です．
両者を合わせて，答えは
$\displaystyle\frac{\pi}{2}(|\xi|+1)e^{-|\xi|}$です．

Fourier 変換して，$e^{-|\xi|}$ と自分自身の convolution を
計算してもできます．

\end{document}