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\begin{document}
\centerline{2018年解析学特別演習IIIテスト(5)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $1\le p<\infty$ に対し，$f\in L^p({\mathbf R})$ とする．
$\displaystyle \lim_{t\to 0} \int_{-\infty}^\infty 
|f(x-t)-f(x)|^p\;dx=0$ を示せ．

\bigskip
[2] $x\in\mathbf R$ に対し，$f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$ とする．
$(f*f*\cdots *f)(x)$ を求めよ．ただし $f$ の数は $k$ 個である．

\bigskip
[3] $\varepsilon > 0$, $\xi\in \mathbf R$, $f\in L^2({\mathbf R})$
に対し，$g_\varepsilon(\xi)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty
f(x)e^{-\varepsilon x^2}e^{-ix\xi}\;dx$ とおく．

(1) $g_\varepsilon\in L^2({\mathbf R})$ を示せ．

(2) $\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0+} \|g_\varepsilon-\hat f\|_2=0$ を
示せ．

\bigskip
[4] $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-ix\xi}}{(1+x^2)^2}\;dx$
を求めよ．ただし $\xi$ は実数である．

\end{document}