\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学VI期末テスト}
\rightline{2012年2月6日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

この試験は自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．

以下，${\R}$ 上で考えている測度はすべて Lebesgue 測度である．
$\delta_a$ は，
${\R}$ 上の Dirac の $\delta$ 関数であり，試験関数 $\varphi$
に対して $\langle \delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a)$ 
となるものである．

\bigskip
[1] $\R$ 上の $C^\infty$級関数 $\varphi$ が，任意の実数
$a$ に対して $\langle \delta''_a+\delta_a,\varphi\rangle=0$ を
満たすとする．このような $\varphi$ をすべて求めよ．

\bigskip
[2] 次の積分の値を求めよ．ただし $\xi$ は実数である．
$$\int_{-\infty}^\infty 
\frac{e^{-ix\xi} \sin x \cos x }{1+x^2}\;dx$$

\bigskip
[3] (1) 任意の多項式 $p(x)$ に対し，
$\dsize\sum_{n=0}^\infty p(n)\delta_n$ は緩増加超関数であることを
示せ．

(2) 超関数 $\dsize\sum_{n=0}^\infty a_n\delta_n$ が緩増加でないような
数列 $\{a_n\}_n$ の例を一つ挙げよ．緩増加でないことの理由を
きちんと示すこと．

\bigskip
[4] 次の Fourier 級数の値を求めよ．
$$\sum_{n\in\Z,n\neq0}\frac{e^{inx}}{n^4}.$$

\bigskip
[5] 次の積分の値を求めよ．ただし $\xi$ は実数である．
$$\int_{-\infty}^\infty 
\frac{e^{-ix\xi} \sin x}{x(1+x^2)}\;dx$$

\bigskip
[6] $f,g\in L^2(\R)$ とする．通常のように
$$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\;dy$$
とおく．

(1) $f*g$ は超関数として緩増加であることを示せ．

(2) $f*g$ の緩増加超関数としての Fourier 変換は $\hat f \hat g$ に
等しいことを示せ．ただし，$\hat f, \hat g$ はそれぞれ，
$L^2$関数としての$f,g$ の Fourier 変換である．

\bye