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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (9)}
\rightline{2012年1月30日13:00--14:30}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自分のノートの持ち込み可です．

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以下，${\bold R}$ 上で考えている測度はすべて Lebesgue 測度である．

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[1] ${\bold R}$ 上の超関数 $\text{p.v.}\dfrac{1}{x}$ が緩増加であることを直接
定義より示せ．(これは1/23の講義で簡単にできると言って証明を省略
したものである．同日の Fourier 変換の計算結果を使えばすぐにわかるが，
直接定義より示せ，という問題である．)

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[2] $T$ を ${\bold R}$ 上の緩増加超関数，$f$ を ${\bold R}$ 上の急減少関数
としたとき，$fT$ も緩増加超関数であることを示せ．

\bigskip
[3] (1) $\dsize\sum_{n\in{\bold Z}} n \delta_n$ は
${\bold R}$ 上の緩増加超関数であることを示せ．
ただし$\delta_n$ は，
${\bold R}$ 上の Dirac の $\delta$ 関数であり，
$\langle \delta_n,\varphi\rangle= \varphi(n)$ となる
ものである．

(2) $\dsize\sum_{n\in{\bold Z}} n \delta_n$ の
Fourier 変換を求めよ．

\bye