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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (8)}
\rightline{2012年1月10日10:00--12:15}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自分のノートの持ち込み可です．

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以下，${\bf R}$ 上で考えている測度はすべて Lebesgue 測度である．
$\delta$ は，
${\bf R}$ 上の，Dirac の $\delta$ 関数であり，
$\delta^{(n)}$ は
その $n$ 階微分である．

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[1] ${\bf R}$ 上の超関数 $T$ で，$T''=\delta$ を
満たすものをすべて求めよ． 

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[2] ${\bf R}$ 上の $C_0^\infty$関数 $\phi$ を取る．
自然数 $n$ について，$\phi_n(x)=e^{-n}\phi(nx)$ とおいたとき，
列$\{\phi_n\}_n$ は試験関数として0に収束していることを示せ．

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[3] $$\sum_{n=0}^N a_n x^n\delta^{(n)}$$
を求めよ．ただし，$a_n$は複素数である．

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[4] $f$ を  ${\bf R}$ 上の $C^\infty$級関数，
$T$ を${\bf R}$ 上の超関数とする．
$(fT)'=f'T+fT'$ を示せ．ただし ${}'$は超関数としての
微分を表す．

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[5] ${\bf R}$ 上
$$\sum_{n=0}^N a_n \delta^{(n)}=0$$ であれば，すべての
$a_n$ が0であることを示せ．

\bye